Laboratorio 1 · Cálculo de una variable

Sumas e integral de Riemann

Las armas vienen de las Clases 2 y 3 — el símbolo $\Sigma$ y la definición de la integral — y la Clase 4 lo resuelve casi completo en vivo: Gauss desplazado, la linealidad, la telescópica del factorial, la geométrica con su demostración… y el «ejercicio difícil» que hace nacer la primera serie del curso. Cada ejercicio enlaza a la parte exacta donde el profesor lo trabaja.

5 ejercicios
Resuelto en vivo en la Clase 4
Cazuelazo: nace la serie geométrica

📄 Enunciado oficial → Laboratorio 1 · Cálculo Diferencial e Integral II (ITAM) PDF 📄 Más práctica del mismo tema → Cuaderno de ejercicios · Cálculo III, Tarea 2 (Dra. Lorena Zogaib, ITAM) p. 5 📄 …y sus soluciones oficiales — consúltalas solo después de intentarlo p. 14

Los ejercicios

Ejercicio por ejercicio, con su parte

El enunciado fiel, y debajo el botón a la parte de la clase interactiva donde se resuelve. Lo honesto: primero inténtalo en tu cuaderno; el botón es para comparar.

1Calcular

a $$\sum_{i=101}^{200} i$$ ▶ Clase 4 · Parte 18 — Σ de 101 a 200

b $$\sum_{j=2}^{30}\left(6j + \frac{4j^{2}}{3}\right)$$ ▶ Clase 4 · Parte 19 — linealidad y las dos sumas ▶ Parte 20 — ¿y para i⁵?

c $$\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{(k+2)!}$$ ▶ Clase 4 · Parte 21 — completar el factorial ▶ Parte 22 — la telescópica del ½

d $$\sum_{n=0}^{m} q^{n} \;=\; \frac{1-q^{m+1}}{1-q}\,, \qquad q \neq 1$$ ▶ Clase 4 · Parte 23 — la geométrica regresa ▶ Parte 24 — (1−q)·Σ: la demostración

2Utilizando sumas de Riemann, obtener la integral

a $$\int_{0}^{b}\left(x^{2} + 3b\right)dx\,, \qquad b > 0$$

b $$\int_{0}^{b} 2x^{3}\,dx$$

✍️ Este es para tu cuaderno: no se resolvió en clase. El método es el de la exhaución de la Clase 2 hecho general con la definición de la Clase 3 — partición uniforme, $c_k$ a la derecha, las $\Sigma$ del formulario, y el límite.

▶ Clase 3 · Parte 15 — la definición… y nace ∫ Σ del formulario de la Clase 2

3La integral como límite de sumas de Riemann

Escribe la integral de Riemann $\displaystyle\int_{0}^{1}(1+x)^{2}\,dx$ como el límite de sumas de Riemann $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(c_k)\,(x_k - x_{k-1})$, en donde

$$P = \left\{\, 0 = \tfrac{0}{n} \lt \tfrac{1}{n} \lt \cdots \lt \tfrac{n-1}{n} \lt \tfrac{n}{n} = 1 \,\right\}, \qquad c_k = \tfrac{k}{n}\,, \qquad f(x) = (1+x)^{2}.$$

▶ Clase 4 · Parte 25 — Problema 3: al revés

4Expresa el límite como una integral definida

(No calcules la integral.)

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1} + \frac{n}{n^{2}+4} + \cdots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)$$

▶ Clase 4 · Parte 26 — domar el límite: aparece 1/(1+x²)

5Cazuelazo semanal

En el ejercicio 1.d), probar que si $|q| \lt 1$, entonces

$$\lim_{m\to\infty}\;\sum_{n=0}^{m} q^{n} \;=\; \frac{1}{1-q}\,.$$

▶ Clase 4 · Parte 27 — el difícil que ya está hecho ▶ Parte 28 — |q| < 1: nace la serie

Por qué importa. Es la primera vez que el curso suma infinitos términos y obtiene un número: la serie geométrica. La Clase 4 la demuestra completa — el límite de $q^{m+1}$ muere cuando $|q| \lt 1$, y queda $\tfrac{1}{1-q}$.

El Laboratorio 2 sigue ▸

Integral de Riemann y sus propiedades: el mín–máx, $f(c)=g(c)$, la tangente del Problema 5 y los incisos de Leibniz. Ir al Laboratorio 2 · o vuelve a la Clase 4, donde este laboratorio se resuelve.