Clase 6 · La sustitución

Formulario · para regresar rápido

Las fórmulas de la clase, a la mano

El método, las inmediatas, las maniobras y las identidades: lo que vas a estar consultando al resolver.

El método de sustitución

$$u = g(x),\qquad du = g'(x)\,dx$$ $$\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$$

Condición de éxito: el du tiene que estar en el integrando (salvo constantes). Si no está: álgebra antes.

Las inmediatas que se dan por sabidas

$$\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \;\;(n \ne -1)$$ $$\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$$ $$\int e^u\,du = e^u + C$$ $$\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C$$ $$\int \sec^2 u\,du = \tan u + C$$ $$\int \sec u \tan u\,du = \sec u + C$$

Sustitución en una integral definida

$$\int_a^b f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$

Los límites se transforman con la u. La variable de integración es muda.

Maniobra 1 · sumar y restar

$$\frac{x}{x-1} = \frac{(x-1)+1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1}$$ $$\frac{1}{e^x+1} = \frac{(e^x+1) - e^x}{e^x+1} = 1 - \frac{e^x}{e^x+1}$$

Maniobra 2 · el conjugado

$$\frac{1}{1+\operatorname{sen} x}\cdot\frac{1-\operatorname{sen} x}{1-\operatorname{sen} x} = \frac{1-\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}$$ $$\frac{1}{e^x+1}\cdot\frac{e^x-1}{e^x-1} = \frac{e^x-1}{e^{2x}-1}$$

Maniobra 3 · reescribir raíces

$$\sqrt{x^5} = \sqrt{x^4\cdot x} = x^2\sqrt{x}$$ $$\sqrt{\frac{x-1}{x^5}} = \frac{1}{x^2}\sqrt{1 - \frac{1}{x}}$$

Identidades que hay que saber

$$\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$$ $$1 - \operatorname{sen}^2 x = \cos^2 x$$ $$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$ $$1 + \cot^2 x = \csc^2 x$$

Los tres resultados de la sesión

$$\int\sqrt{\frac{x-1}{x^5}}\,dx = \frac{2}{3}\Big(1-\frac{1}{x}\Big)^{3/2} + C$$ $$\int\frac{dx}{1+\operatorname{sen} x} = \tan x - \sec x + C$$ $$\int\frac{dx}{e^x+1} = x - \ln(e^x+1) + C$$

Trapecio (exacto para rectas) y Simpson

$$f = mx + c \text{ (recta):}$$ $$\int_a^b f = \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$$ $$\text{cuadráticas (Simpson), con } x_m = \tfrac{a+b}{2}:$$ $$\int_a^b f = \tfrac{b-a}{6}\big[f(a) + 4f(x_m) + f(b)\big]$$

Trasladar y escalar la integral (tarea 3, ej. 13)

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_{a+\lambda}^{b+\lambda} f(x-\lambda)\,dx$$ $$\int_a^b f(x)\,dx = \frac{1}{\lambda}\int_{\lambda a}^{\lambda b} f\Big(\frac{x}{\lambda}\Big)dx$$

Recíproca ≠ inversa

$$\text{recíprocas: } f\cdot g \equiv 1,\;\; g = \tfrac{1}{f}$$ $$\text{inversas: } g(f(x)) = x,\;\; f(g(y)) = y$$

Existe la inversa ⟺ f es biyectiva (inyectiva + suprayectiva). f⁻¹ no es 1/f.

El mapa de la sesión

De la sustitución… a la inversa

📖 Para profundizar → Thomas §5.5 · Integrales indefinidas y el método de sustitución p. 284 📖 Para profundizar → Thomas §5.6 · Teorema 7: sustitución en integrales definidas p. 292

La sesión entra de lleno con un ejemplo ya en marcha, así que la primera parte pone el método a la mano. Cuatro capítulos:

El método y las maniobras. Sustituir es la regla de la cadena al revés — y solo funciona si el $du$ está en el integrando. Cuando no está, álgebra: en (a) $\frac{x}{x-1}$ se suma y resta 1; en (b) $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ se pone $u = \sqrt{x}$ y se eleva al cuadrado ($dx = 2u\,du$), y otra vez sumar y restar 1 destapa un $\arctan$: $2\sqrt{x} - 2\arctan\sqrt{x} + C$. En (c), $\sqrt{(x-1)/x^5}$ se reescribe como $\frac{1}{x^2}\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ y entonces $u = 1 - \frac{1}{x}$ tiene su $du = \frac{dx}{x^2}$ exacto: $\frac{2}{3}\big(1-\frac{1}{x}\big)^{3/2} + C$.
Trigonométrica y exponencial. Para $\frac{1}{1+\operatorname{sen} x}$: el conjugado, $1-\operatorname{sen}^2 = \cos^2$, repartir en $\int\sec^2 - \int\frac{\operatorname{sen}}{\cos^2}$ (con $u = \cos x$): $\tan x - \sec x + C$. Para $\frac{1}{e^x+1}$ el conjugado lleva a $\int\frac{du}{u^2-1}$ — fracciones parciales, con asterisco — y el camino del salón, $1 = (e^x+1) - e^x$, cierra: $x - \ln(e^x+1) + C$. «No hay un único camino»: explorar también enseña.
Integrales definidas. El cazuelazo del laboratorio 2: si $f = mx + c$, integrar y factorizar $(b-a)$ da lo mismo que promediar $f(a)$ y $f(b)$ — el trapecio es exacto para rectas (para cuadráticas falla por $\frac{A}{6}(b-a)^3$: Simpson). El ejercicio 13 de la tarea 3: $\int_{a+\lambda}^{b+\lambda} f(x-\lambda)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$ con $u = x - \lambda$ — los límites se transforman y la variable es muda. Y $\int_{-1}^{1}|x-1|\,dx$: redefinir el valor absoluto, ver que en $[-1,1]$ solo actúa $1 - x$, y contar un triángulo: 2.
Recíprocas, inversas, biyectiva. Recíprocas: bajo el producto dan 1 ($g = 1/f$). Inversas: bajo la composición dan la idéntica — $g(f(x)) = x$ y $f(g(y)) = y$, «un viaje de ida y vuelta»; la gráfica de la inversa es la misma «de cabeza» (reflejada en $y = x$). Y existe solo si $f$ es biyectiva: inyectiva (estudiantes distintos, bancas distintas) y suprayectiva (no sobran bancas: codominio = rango).

Laboratorio interactivo · la estrella

La sustitución, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §5.5 · Teorema 6: la regla de sustitución p. 286

El ejemplo mínimo de la Parte 1: $\int_0^{b} 2x\cos(x^2)\,dx$. El navegador suma el área bajo $2x\cos(x^2)$ numéricamente (Simpson)… y la sustitución $u = x^2$ predice el valor exacto: $\operatorname{sen}(b^2)$. Mueve la $b$ y compara.

b = 1.20

área numérica: — sen(b²) por sustitución: — u = b² = —

El trapecio, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §8.6 · Integración numérica: trapecio y Simpson p. 469

El cazuelazo: para $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ en $[1, 3]$, compara la integral exacta con la regla del trapecio $\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$ y con Simpson. Con $A = 0$ (recta) el trapecio da exacto; en cuanto $A \ne 0$ sobra $\frac{A}{6}(b-a)^3$… y Simpson sigue exacto.

A = 0.00 B = 0.60

∫₁³ f exacta: — trapecio: — diferencia = A(b−a)³/6: — Simpson: —

La inversa, de cabeza

📖 Para profundizar → Thomas §7.1 · La gráfica de la inversa: reflejar en y = x p. 363

$f(x) = x^2/4$ para $x \ge 0$ (inyectiva ahí). Mueve la $x$: la ida sube a la curva y va al eje $y$; la inversa $g(y) = 2\sqrt{y}$ hace el regreso — y su gráfica es la misma curva reflejada en $y = x$. Comprueba en vivo que $g(f(x)) = x$.

x = 3.00 mostrar la inversa reflejada

ida: f(x) = — vuelta: g(f(x)) = — recíproca 1/f(x) = — (otra cosa)

Cuaderno · tarea 6, ejercicio 2

Las maniobras, una por una

Los ejercicios de la sesión vienen del cuaderno de ejercicios de Cálculo III, tarea 6 («técnicas de integración»), ejercicio 2: integrales «utilizando procedimientos algebraicos». El reflejo que entrena: ¿dónde está el $du$?

📄 La tarea 6 completa → Cuaderno de ejercicios · Cálculo III (Dra. Lorena Zogaib, ITAM) p. 16 📄 …y sus soluciones oficiales — consúltalas solo después de intentarlo p. 50 📄 Tarea 3, ejercicio 13 (trasladar y escalar) p. 11 📄 …y su solución oficial p. 36 📄 Tarea 2, ejercicio 12 (razonamiento geométrico) p. 7 📄 …y su solución oficial p. 24 🧪 El cazuelazo del trapecio → Laboratorio 2 ir al lab

(a) · sumar y restar 1

El grado de arriba iguala al de abajo: la fracción esconde un entero.

$$\int\frac{x}{x-1}\,dx = \int\Big(1 + \frac{1}{x-1}\Big)dx = x + \ln|x-1| + C$$

(b) · u = √x y elevar al cuadrado

$u^2 = x$, $dx = 2u\,du$; luego otra vez $u^2 = (u^2+1) - 1$:

$$\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx = 2\int\frac{u^2}{u^2+1}\,du = 2\sqrt{x} - 2\arctan\sqrt{x} + C$$

(c) · reescribir raíces

$\sqrt{x^5} = x^2\sqrt{x}$, raíz de cociente, reagrupar: sale $\frac{1}{x^2}$, el $du$ de $u = 1 - \frac{1}{x}$.

$$\int\sqrt{\frac{x-1}{x^5}}\,dx = \int\sqrt{u}\,du = \frac{2}{3}\Big(1 - \frac{1}{x}\Big)^{3/2} + C$$

(e) · el conjugado

$1 - \operatorname{sen}^2 x = \cos^2 x$; $\int\sec^2 = \tan$; $u = \cos x$ (no $\cos^2$) para la otra.

$$\int\frac{dx}{1+\operatorname{sen} x} = \int\sec^2 x\,dx - \int\frac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}\,dx = \tan x - \sec x + C$$

(g) · sumar y restar eˣ

El camino del salón: $1 = (e^x + 1) - e^x$, y $u = e^x + 1$ en la segunda.

$$\int\frac{dx}{e^x+1} = \int dx - \int\frac{e^x}{e^x+1}\,dx = x - \ln(e^x+1) + C$$

✱ · lo que queda con asterisco

El conjugado deja $\int\frac{du}{u^2-1}$ y $u = e^x+1$ deja $\int\frac{du}{u(u-1)}$: dos factores lineales abajo.

$$\frac{1}{(u+1)(u-1)} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u-1}\quad\text{— fracciones parciales, más adelante}$$

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · ¿Cuándo funciona la sustitución $u = g(x)$?

2 · En $\int\sqrt{\frac{x-1}{x^5}}\,dx$, después de reescribir la raíz, ¿cuál fue la $u$?

3 · Primer paso para $\int\frac{dx}{1+\operatorname{sen} x}$:

4 · $\int\frac{dx}{e^x+1} = \;?$

5 · Si $f$ es lineal en $[a,b]$, ¿cuánto vale $\int_a^b f$?

6 · Por geometría, $\int_2^5 |x - 3|\,dx = \;?$

7 · Para $f(x) = 2x + 1$: ¿cuál es su inversa y cuál su recíproca?

Para tu cuaderno

Practica: sustituir, preparar, dibujar

1 · $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$

La u: $u = 1 + x^2$, $du = 2x\,dx$ ⇒ $x\,dx = \frac{du}{2}$.

$$\int\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = u^{1/2} + C = \sqrt{1+x^2} + C$$

Comprobación: $\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^2} = \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ ✓

2 · (El conjugado) $\displaystyle\int \frac{dx}{1 - \cos x}$

Conjugado: $\frac{1}{1-\cos x}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x} = \frac{1+\cos x}{\operatorname{sen}^2 x} = \csc^2 x + \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x}$.

$$\int\csc^2 x\,dx = -\cot x + C_1,\qquad \int\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x}\,dx = \int\frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u} = -\csc x + C_2 \;\;(u = \operatorname{sen} x)$$

Resultado: $-\cot x - \csc x + C$. Verificado derivando: $\csc^2 x + \csc x\cot x = \frac{1+\cos x}{\operatorname{sen}^2 x} = \frac{1}{1-\cos x}$ ✓

3 · (Preparar antes) $\displaystyle\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$

Maniobra: multiplicar arriba y abajo por $e^x$: $\frac{e^x}{e^{2x} + 1}$. Ahora $u = e^x$, $du = e^x\,dx$.

$$\int\frac{e^x\,dx}{e^{2x}+1} = \int\frac{du}{u^2+1} = \arctan u + C = \arctan(e^x) + C$$

Comprobación: $\frac{d}{dx}\arctan(e^x) = \frac{e^x}{1+e^{2x}} = \frac{1}{e^{-x}+e^{x}}$ ✓ (es el inciso (h) del cuaderno).

4 · (Definida: los límites cambian) $\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$

La u: $u = 1 + x$, $du = dx$; límites: $x = 0 \mapsto u = 1$, $x = 3 \mapsto u = 4$.

$$\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx = \int_1^4 u^{1/2}\,du = \Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^4 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}$$

Si prefieres regresar a $x$: $\big[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\big]_0^3$ — mismo $\frac{14}{3} \approx 4.667$.

5 · (Reto) Halla la inversa de $f(x) = x^3 + 1$, comprueba la ida y vuelta… y di por qué existe en todo $\mathbb{R}$.

Despejar: $y = x^3 + 1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{y-1}$, así que $g(y) = \sqrt[3]{y - 1}$.

$$g(f(x)) = \sqrt[3]{(x^3+1) - 1} = x,\qquad f(g(y)) = \big(\sqrt[3]{y-1}\big)^3 + 1 = y$$

Existe porque $f$ es biyectiva en $\mathbb{R}$: estrictamente creciente (inyectiva) y toma todos los valores reales (suprayectiva). Compara con $x^2$, que hay que «dividir por pedazos».

En resumen

Lo que debes llevarte de la Clase 6

La sustitución es la regla de la cadena al revés — $u = g(x)$, $du = g'(x)\,dx$ — y su condición de éxito es que el $du$ esté en el integrando. Cuando no está, el trabajo es álgebra antes: sumar y restar (1, $e^x$), elevar al cuadrado con $u = \sqrt{x}$, reescribir raíces ($\sqrt{x^5} = x^2\sqrt{x}$), multiplicar por el conjugado; y las identidades hay que saberlas. Tres resultados: $\frac{2}{3}(1-\frac{1}{x})^{3/2}$, $\tan x - \sec x$, $x - \ln(e^x+1)$; un asterisco para fracciones parciales; y la moraleja de que explorar el camino también enseña. En definidas: el trapecio es exacto para rectas, trasladar no cambia el área (los límites viajan con la $u$), y $|x-1|$ en $[-1,1]$ es un triángulo. Y para el laboratorio 3: recíproca (producto 1) no es inversa (composición = idéntica), que existe solo si $f$ es biyectiva.

¿Te perdiste algo? La Clase 6 Interactiva te lleva por las 13 partes al ritmo de la voz del profesor. La Clase 5, la Clase 4, la Clase 3, la Clase 2 y la Clase 1 siguen ahí para el repaso.

La Clase 7 ya está aquí

Funciones inversas en la práctica — ¿cómo se calcula una?, ¿cómo se deriva? — y las trigonométricas inversas del laboratorio 3: de dónde salen $\operatorname{arcsen}$ y $\arctan$ y qué integrales producen. Ir a la Clase 7 ▸