Clase 7 · Inversas y trascendentes

Formulario · para regresar rápido

Las fórmulas de la clase, a la mano

La sustitución con raíz, la receta de la inversa, su derivada y la circunferencia unitaria: lo que vas a estar consultando al resolver.

Sustitución que se lleva la raíz

$$u = \sqrt{e^x-1},\;\; u \ge 0$$ $$e^x = u^2+1,\qquad dx = \frac{2u}{u^2+1}\,du$$ $$\tfrac12\!\int\!\sqrt{e^x-1}\,dx$$ $$= \sqrt{e^x-1} - \arctan\sqrt{e^x-1} + C$$

Despejar la diferencial es dividir: de du = eˣdx sale dx = du/eˣ.

El menos-más y el arco tangente

$$\frac{u^2}{u^2+1} = \frac{u^2+1-1}{u^2+1} = 1 - \frac{1}{u^2+1}$$ $$\int\frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C$$

Inversa · cuándo existe

$$\exists\, f^{-1} \iff f \text{ biyectiva}$$ $$(g\circ f)(x) = x,\qquad (f\circ g)(y) = y$$

Biyectiva = inyectiva y suprayectiva. Manda la inyectividad: el codominio siempre se puede achicar al rango. Recíproca (1/f) ≠ inversa.

Inversa · la receta

1 ¿biyectiva? si no, ¿en qué intervalo? · 2 despejar x en términos de y: la candidata g(y) · 3 demostrar (g∘f)(x) = x y (f∘g)(y) = y · 4 definir f⁻¹, escribirla en x, graficar y checar.

$$y = x^2,\ x\ge 0 \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \sqrt{x}$$ $$y = x^2,\ x\le 0 \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = -\sqrt{x}$$

Inversa · la gráfica

$$\operatorname{Dom} f = \operatorname{Ran} f^{-1}$$ $$\operatorname{Ran} f = \operatorname{Dom} f^{-1}$$

Con el dominio en el eje x, la gráfica de f⁻¹ es la reflexión de la de f sobre la recta y = x; puntos fijos donde y = x. Prueba de la recta horizontal ⟺ inyectiva.

Derivada de la inversa

$$g'\big(f(x)\big)\cdot f'(x) = 1$$ $$\Rightarrow\; g'\big(f(x)\big) = \frac{1}{f'(x)}$$ $$\left.\frac{dx}{dy}\right|_{y_0} = \frac{1}{\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x_0}}$$ $$y_0 = f(x_0)$$

Recíprocas en puntos correspondientes: mismo signo, razón invertida.

Circunferencia unitaria · la definición

$$P(\theta) = (\cos\theta,\ \operatorname{sen}\theta),\qquad x^2+y^2 = 1$$ $$\cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta \equiv 1$$ $$\tan\theta = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\;\;(\cos\theta \ne 0)$$

Radianes

$$2\pi\ \text{rad} = 360^\circ,\quad \pi\ \text{rad} = 180^\circ$$ $$1\ \text{rad} = \tfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ$$

Unidad anfibia: en la circunferencia unitaria el ángulo y el arco miden lo mismo. 1240° = 3·360° + 160°.

Al primer cuadrante

$$\begin{aligned}\text{II}&: 180^\circ-\theta\quad(-,+)\\ \text{III}&: \theta-180^\circ\quad(-,-)\\ \text{IV}&: 360^\circ-\theta\quad(+,-)\end{aligned}$$ $$\operatorname{sen}135^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2},\quad \cos 135^\circ = -\tfrac{\sqrt2}{2}$$

Signos como (cos, sen). Ejes: 0 → (1,0), π/2 → (0,1), π → (−1,0), 3π/2 → (0,−1).

Fuera de la circunferencia · semejanza

$$\operatorname{sen}\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$$ $$\cos\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$$ $$\tan\theta = \tfrac34 \;\Rightarrow\; \text{hip} = \sqrt{9+16} = 5$$ $$\operatorname{sen}\theta = \tfrac35,\qquad \cos\theta = \tfrac45$$

Seno y coseno nunca pasan de 1: si tu valor lo rebasa, falta dividir entre la distancia al origen.

El mapa de la sesión

De un examen… a la circunferencia unitaria

📖 Para profundizar → Thomas §7.1 · Funciones inversas y sus derivadas p. 361 📖 Para profundizar → Thomas §1.3 · Funciones trigonométricas p. 23

Cuatro capítulos:

Como de examen. $\tfrac12\int\sqrt{e^x-1}\,dx$ con $u = \sqrt{e^x-1}$: elevando al cuadrado (válido porque $u \ge 0$) sale $e^x = u^2+1$ y $dx = \frac{2u}{u^2+1}\,du$; queda $\int\frac{u^2}{u^2+1}\,du$, que el «menos-más» $u^2+1-1$ parte en $\int du - \int\frac{du}{u^2+1} = u - \arctan u$. Resultado: $\sqrt{e^x-1} - \arctan\sqrt{e^x-1} + C$ (verificado derivando). El segundo camino, $u = e^x-1$, arrancó con un despeje volteado en el pizarrón ($dx = (u+1)\,du$); un alumno insistió — «yo lo tengo al revés» — y el salón lo corrigió: $dx = \frac{du}{u+1}$. Queda $\int\frac{\sqrt u}{u+1}\,du$, que con $w = \sqrt u$ es la misma integral de antes. Moraleja: «lo mejor es lo anterior» — la sustitución que se lleva la raíz completa.
Las inversas, en serio. Recíproca ($1/f$, bajo el producto) no es inversa ($f^{-1}$, bajo la composición). Existe inversa ⟺ $f$ biyectiva, y lo que manda es la inyectividad: el codominio siempre se achica al rango (estudiantes → bancas ocupadas). $y = x^2$ pasa la recta vertical (función) y falla la horizontal (no inyectiva); con $x \ge 0$ sobrevive una rama. La gráfica de la inversa es la misma, leída desde el eje $y$; reflejada sobre $y = x$ solo cuando se quiere el dominio en el eje $x$. La receta: (1) biyectiva o intervalo, (2) despejar $x$: candidata $g(y) = \sqrt y$, (3) demostrar $g(x^2) = \sqrt{x^2} = |x| = x$ y $(\sqrt y)^2 = y$, (4) definir $f^{-1}(x) = \sqrt x$, graficar, checar dominios cruzados. Con $x \le 0$: $|x| = -x$, candidata $-\sqrt y$, $g(x^2) = -|x| = x$, $f^{-1}(x) = -\sqrt x$, $\operatorname{Dom} f = (-\infty, 0] = \operatorname{Ran} f^{-1}$.
La derivada de la inversa… y la memoria. De $(g\circ f)(x) = x$, la cadena da $g'(f(x))\,f'(x) = 1$, así que $g'(f(x)) = 1/f'(x)$: recíprocas, evaluadas en puntos correspondientes. En Leibniz: $\frac{dg}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} = 1 \iff \frac{dx}{dy} = 1\big/\frac{dy}{dx}$. Mismo signo, razón invertida: $x^2$ sube con pendiente 4 en $(2,4)$, $\sqrt x$ con $\tfrac14$ en $(4,2)$; $e^x$ crece rapidísimo y $\ln x$ muy despacio. Y la pausa: «están recurriendo a la memoria» — Platón (el Fedro), Kant (imperativo categórico; las matemáticas como juicios a priori — sintéticos, en su tesis: no dependen de la experiencia, y hay que entenderlos).
Trascendentes y circulares. Trascendente = «va más allá» de lo algebraico (polinómicas ~ enteros, racionales = cocientes, irracionales = raíces); las que no: exponencial, logarítmica, trigonométricas (directas, recíprocas, inversas), hiperbólicas. Las trigonométricas son circulares: en la circunferencia unitaria, el lado final de $\theta$ (positivo = antihorario; 360° de los babilonios; $2\pi$ radianes = las veces que cabe el radio) corta en $P(\theta) = (\cos\theta, \operatorname{sen}\theta)$. De $x^2+y^2 = 1$: $\cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta \equiv 1$ — identidad (todos los valores), no ecuación (finitos; grado $n$ ⟹ $n$ raíces complejas, en pares conjugados). Valores en los ejes, signos por cuadrante, reducción al primer cuadrante ($135^\circ \to 45^\circ$), semejanza de $OPR$ y $OQR'$ para puntos fuera de la circunferencia, $\tan = \operatorname{sen}/\cos$… y el problema de examen: $\tan\theta = \tfrac34$ da $\operatorname{sen}\theta = \tfrac35$, $\cos\theta = \tfrac45$ — «no pueden pasar de 1».

Laboratorio interactivo · la estrella

La prueba de la recta horizontal, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §7.1 · Prueba de la recta horizontal para funciones inyectivas p. 362

La parábola $y = x^2$ con el dominio que tú elijas. Mueve la recta horizontal: cuenta los cortes. Con una rama sola, el motor dibuja la inversa reflejada sobre $y = x$ — calculada punto a punto.

dominio: recta y = 2.25

cortes de la horizontal: — ¿inyectiva en ese dominio? — inversa: —

Pendientes recíprocas, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §7.1 · Teorema 1: las derivadas de funciones inversas son recíprocas p. 365

$e^x$ y $\ln x$, inversas. Mueve $x_0$: la tangente a $e^x$ en $(x_0, e^{x_0})$ tiene pendiente $e^{x_0}$; en el punto espejo $(e^{x_0}, x_0)$, la tangente a $\ln x$ tiene pendiente $1/e^{x_0}$. El producto nunca se despeina.

x₀ = 0.50

pendiente de eˣ en x₀: — pendiente de ln x en e^{x₀}: — producto: —

La circunferencia unitaria, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §1.3 · Ángulos, radianes y las seis funciones en el círculo unitario p. 23

Gira $\theta$ — más de una vuelta, o hacia atrás —. El punto $P(\theta)$ da el coseno (abscisa) y el seno (ordenada); el motor reduce el ángulo a una vuelta, ubica el cuadrante y calcula el ángulo de referencia.

θ = 40°

reducido: — cuadrante: — referencia: — cos θ = — sen θ = — tan θ = — cos² + sen² = —

Lo que quedó en el pizarrón

El ejercicio de examen y las dos ramas de la parábola

📄 La tarea 6 completa (técnicas de integración; el 2(j) es el de la clase) → Cuaderno de ejercicios · Cálculo III (Dra. Lorena Zogaib, ITAM) p. 16 📄 …y sus soluciones oficiales (el 2(j) en la p. 53) — consúltalas solo después de intentarlo p. 48 📖 Para profundizar → Thomas §7.1 · Ejemplo 4: la inversa de y = x², x ≥ 0 p. 364

Camino 1 · $u = \sqrt{e^x-1}$

$$\tfrac12\int\sqrt{e^x-1}\,dx = \int\frac{u^2}{u^2+1}\,du$$ $$= \int du - \int\frac{du}{u^2+1} = \sqrt{e^x-1} - \arctan\sqrt{e^x-1} + C$$

Camino 2 · $u = e^x - 1$, corregido

$du = e^x\,dx \iff du = (u+1)\,dx \iff dx = \dfrac{du}{u+1}$:

$$\int\sqrt{e^x-1}\,dx = \int\frac{\sqrt u}{u+1}\,du \;\xrightarrow{\,w = \sqrt u\,}\; 2\int\frac{w^2}{w^2+1}\,dw$$

$y = x^2$, $x \ge 0$

Candidata $g(y) = \sqrt y$. Demostración:

$$g(x^2) = \sqrt{x^2} = |x| = x,\qquad f(\sqrt y) = (\sqrt y)^2 = y$$ $$f^{-1}(x) = \sqrt x,\quad \operatorname{Dom} = \operatorname{Ran} = [0,\infty)$$

$y = x^2$, $x \le 0$

$|x| = \sqrt y \iff -x = \sqrt y \iff x = -\sqrt y = g(y)$:

$$g(x^2) = -|x| = -(-x) = x,\qquad f(-\sqrt y) = (-\sqrt y)^2 = y$$ $$f^{-1}(x) = -\sqrt x,\quad \operatorname{Dom} f = (-\infty,0] = \operatorname{Ran} f^{-1}$$

La derivada de la inversa

$$\big[(g\circ f)(x)\big]' = g'\big(f(x)\big)\,f'(x) = (x)' = 1$$ $$\therefore\; g'\big(f(x)\big) = \frac{1}{f'(x)},\qquad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}$$

El problema de examen

$\tan\theta = \tfrac34$ ubica el punto $(4,3)$, a distancia $\sqrt{9+16} = 5$:

$$\operatorname{sen}\theta = \frac{3}{5},\qquad \cos\theta = \frac{4}{5},\qquad \Big(\tfrac35\Big)^2 + \Big(\tfrac45\Big)^2 = 1$$

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · ¿Qué se requiere de $f$ para que exista $f^{-1}$?

2 · Para $f(x) = x^2$ con $x \le 0$, la candidata a inversa es…

3 · Si $f(x) = x^3$, ¿cuánto vale $(f^{-1})'(8)$?

4 · ¿Cuál de estas funciones es trascendente?

5 · Un ángulo de $1240^\circ$ tiene el mismo lado final que…

6 · ¿Cuánto vale $\operatorname{sen}\frac{3\pi}{2}$?

7 · Si $\tan\theta = \tfrac34$ en el primer cuadrante, entonces $\operatorname{sen}\theta$ vale…

Para tu cuaderno

Practica: inversas, derivadas recíprocas y la circunferencia

1 · Encuentra la inversa de $f(x) = 2x + 3$ siguiendo los cuatro pasos.

1 · Es una recta no horizontal: toda horizontal la corta una vez. Biyectiva en $\mathbb R$.

2 · Despejar: $y = 2x + 3 \iff x = \frac{y-3}{2} = g(y)$. La candidata.

3 · $g(f(x)) = \frac{(2x+3)-3}{2} = x$ ✓ y $f(g(y)) = 2\cdot\frac{y-3}{2} + 3 = y$ ✓.

4 · $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$. Dominio y rango de ambas: $\mathbb R$. Las dos rectas son simétricas respecto a $y = x$; el punto fijo: $2x+3 = x \Rightarrow x = -3$, es decir $(-3,-3)$.

2 · Si $f(x) = x^3 + 1$, calcula $(f^{-1})'(9)$ por dos caminos.

Con el teorema: $f(2) = 9$, así que $f^{-1}(9) = 2$; $f'(x) = 3x^2$, $f'(2) = 12$:

$$(f^{-1})'(9) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{12}$$

Directo: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x-1}$, $(f^{-1})'(x) = \tfrac13 (x-1)^{-2/3}$; en $x = 9$: $\tfrac13\cdot 8^{-2/3} = \tfrac13\cdot\tfrac14 = \tfrac1{12}$ ✓.

3 · Reduce $1000^\circ$ a una vuelta, di en qué cuadrante cae y con qué ángulo de referencia se calculan su seno y coseno (con signos).

$1000 = 2\cdot 360 + 280$: dos vueltas y $280^\circ$. Está en el cuarto cuadrante (entre 270° y 360°).

Referencia: $360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$. Signos del IV: coseno $+$, seno $-$:

$$\operatorname{sen}1000^\circ = -\operatorname{sen}80^\circ \approx -0.985,\qquad \cos 1000^\circ = \cos 80^\circ \approx 0.174$$

4 · Si $\tan\theta = \tfrac{12}{5}$ y $\theta$ está en el tercer cuadrante, encuentra $\operatorname{sen}\theta$ y $\cos\theta$.

La razón $12 : 5$ da un punto a distancia $\sqrt{144 + 25} = 13$ del origen. En el tercer cuadrante ambas coordenadas son negativas:

$$\operatorname{sen}\theta = -\frac{12}{13},\qquad \cos\theta = -\frac{5}{13},\qquad \Big(\tfrac{12}{13}\Big)^2 + \Big(\tfrac{5}{13}\Big)^2 = \frac{169}{169} = 1$$

(Y la tangente, cociente de dos negativos, queda positiva: $\tfrac{12}{5}$ ✓. Nunca «seno 12, coseno 5»: no pasan de 1.)

5 · (De la tarea 6) Calcula $\displaystyle\int\frac{dx}{e^x + 1}$ con una sustitución exponencial.

Sea $u = e^x$: $du = e^x\,dx = u\,dx$, así que $dx = \frac{du}{u}$ (despejar es dividir):

$$\int\frac{dx}{e^x+1} = \int\frac{du}{u(u+1)} = \int\Big(\frac1u - \frac1{u+1}\Big)du = \ln u - \ln(u+1) + C$$

Regresar: $\ln e^x - \ln(e^x+1) = x - \ln(e^x + 1) + C$. Comprobación: la derivada es $1 - \frac{e^x}{e^x+1} = \frac{1}{e^x+1}$ ✓. (El paso $\frac{1}{u(u+1)} = \frac1u - \frac1{u+1}$ es un «menos-más» disfrazado: $\frac{(u+1)-u}{u(u+1)}$.)

En resumen

Lo que debes llevarte de la Clase 7

Un ejercicio de examen enseñó que despejar la diferencial es dividir y que la sustitución que se lleva la raíz completa ahorra un rodeo. Las inversas quedaron con receta: existen si $f$ es biyectiva (manda la inyectividad), se calculan despejando y demostrando las dos composiciones, se grafican reflejando sobre $y = x$ — con dominios y rangos cruzados —, y derivan como recíprocas en puntos correspondientes: $\frac{dx}{dy} = 1\big/\frac{dy}{dx}$. Las funciones que «van más allá» del álgebra son las trascendentes; las trigonométricas son circulares porque seno y coseno se definen como las coordenadas de $P(\theta)$ en la circunferencia unitaria — de ahí $\cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta \equiv 1$, los signos por cuadrante, la reducción al primer cuadrante y la semejanza para puntos fuera. Y la moraleja del salón: entender, no memorizar.

¿Te perdiste algo? La Clase 7 Interactiva te lleva por las 19 partes al ritmo de la voz del profesor. La Clase 6, la Clase 5, la Clase 4, la Clase 3, la Clase 2 y la Clase 1 siguen ahí para el repaso.

La Clase 8 ya está aquí

«Tenemos que graficar: seno, coseno y tangente — les voy a pasar unas tablas». Las gráficas de las funciones circulares, sus recíprocas e inversas… y la exponencial y la logarítmica «con detalle». Ir a la Clase 8 ▸

Inversas y trascendentes