Clase 8 · Las funciones trigonométricas

Formulario · para regresar rápido

Las fórmulas de la clase, a la mano

Identidades, valores, derivadas, la receta para graficar y las simetrías: lo que vas a estar consultando al resolver.

La circunferencia unitaria

$$P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)$$ $$-1 \le \sin\theta \le 1,\qquad -1 \le \cos\theta \le 1$$

cos = abscisa, sen = ordenada. Signos: I (+,+) · II (sen+, cos−) · III (−,−) · IV (sen−, cos+).

Identidades pitagóricas

$$\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1$$ $$1 + \tan^2\theta \equiv \sec^2\theta$$ $$\cot^2\theta + 1 \equiv \csc^2\theta$$

Las dos últimas: la primera dividida entre cos²θ y entre sen²θ.

Directas y recíprocas

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\qquad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$ $$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

Recíproca: producto igual a 1 (no confundir con inversa).

Valores notables

$$x:\ 0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2}$$ $$\sin:\ 0,\ \tfrac12,\ \tfrac{\sqrt2}{2},\ \tfrac{\sqrt3}{2},\ 1$$ $$\cos:\ 1,\ \tfrac{\sqrt3}{2},\ \tfrac{\sqrt2}{2},\ \tfrac12,\ 0$$ $$\tan:\ 0,\ \tfrac{\sqrt3}{3},\ 1,\ \sqrt3,\ \text{—}$$

Se regeneran con el equilátero de lado 2 (1, √3, 2) y el de catetos 1 (1, 1, √2).

Complemento · grados ⇄ radianes

$$\sin x = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right)$$ $$\cos x = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right)$$ $$\frac{\theta_{\text{rad}}}{\pi} = \frac{\theta^{\circ}}{180},\qquad \pi\ \text{rad} = 180^\circ$$

Reducir al 1.er cuadrante: 180° − θ, θ − 180°, 360° − θ.

Derivadas e integrales

$$(\sin x)' = \cos x,\quad (\cos x)' = -\sin x$$ $$(\tan x)' = \sec^2 x$$ $$(\sec x)' = \sec x\tan x$$ $$\int\sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int\cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int\tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$$

La receta para graficar

$$1)\ D_f,\ R_f,\ \text{valores}$$ $$2)\ f' \gt 0 \text{ crece},\quad f' \lt 0 \text{ decrece}$$ $$3)\ f'' \lt 0 \text{ cóncava } \cap$$ $$\phantom{3)}\ f'' \gt 0 \text{ convexa } \cup$$ $$\text{ángulo de entrada: } \theta = \arctan f'(x_0)$$

Pendiente 1 → 45°; −1 → 135°; 0 → horizontal. Cambio de concavidad = punto de inflexión.

Seno y coseno: el análisis

$$\sin x:\ \text{crece I ó IV},\ \text{cóncava I ó II}$$ $$\text{entra con } 45^\circ, 0^\circ, 135^\circ, 0^\circ, 45^\circ$$ $$\cos x:\ \text{crece III ó IV},\ \text{cóncava I ó IV}$$ $$\text{entra con } 0^\circ, 135^\circ, 0^\circ, 45^\circ, 0^\circ$$

Ambas con dominio ℝ, rango [−1, 1], periodo 2π. cos x = sen(x + π/2).

Pares e impares

$$f \text{ par} \iff f(-x) = f(x)\ \ \forall x \in D_f$$ $$f \text{ impar} \iff f(-x) = -f(x)$$ $$f(x) = \underbrace{\tfrac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{par}} + \underbrace{\tfrac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{impar}}$$

cos par; sen y tan impares. Par ⇒ derivada impar (y recíprocamente).

La tangente

$$D_{\tan} = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{(2k+1)\pi}{2}\right\},\qquad R_{\tan} = \mathbb{R}$$ $$\text{asíntotas en } x = \tfrac{(2k+1)\pi}{2}$$ $$\text{periodo } \pi$$ $$(\tan x)'' = 2\sec^2 x\,\tan x$$ $$\text{convexa en I ó III, cóncava en II ó IV}$$

cos(x − y) · ley de los cosenos

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$ $$\cos(x - y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y$$

Se deduce midiendo la cuerda PQ de dos maneras: distancia y ley de los cosenos con a = b = 1.

Las rectas notables del triángulo

$$\text{alturas} \to H \ (\text{ortocentro})$$ $$\text{medianas} \to G \ (\text{baricentro})$$ $$\text{mediatrices} \to O \ (\text{circuncentro})$$ $$\text{bisectrices} \to I \ (\text{incentro})$$ $$\text{Euler: } H, G, O \text{ alineados},\ HG = 2\,GO$$

G es el centro de gravedad. Los cuatro centros coinciden solo en el equilátero; en el isósceles están alineados sobre el eje.

El mapa de la sesión

De la circunferencia a $\cos(x-y)$

📖 Para profundizar → Thomas §1.3 · Funciones trigonométricas (radianes, las seis funciones, periodicidad, identidades) p. 22

Cinco capítulos, todos geométricos a propósito:

Identidades y recíprocas. De $x^2 + y^2 = 1$ con $x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$ sale $\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1$ — las tres rayas dicen «para toda $\theta$», a diferencia de una ecuación, que tiene tantas soluciones como grado. Dividir entre $\cos^2\theta$ y entre $\sin^2\theta$ da $1 + \tan^2 \equiv \sec^2$ y $\cot^2 + 1 \equiv \csc^2$: las pitagóricas. Dos funciones son recíprocas si su producto es 1: $\csc = 1/\sin$, $\sec = 1/\cos$, $\cot = 1/\tan$.
Valores notables… y una excursión por el triángulo. Del equilátero de lado 2 partido por su altura ($1, \sqrt3, 2$; ángulos $30^\circ$ y $60^\circ$) salen $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}$, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac12$, $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt3$ y los de $\pi/6$ cruzados — porque $\pi/3$ y $\pi/6$ son complementarios: $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$, y de ahí el «co» de coseno. Del triángulo de catetos 1: $\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}$. En medio, las rectas notables: alturas (ortocentro $H$), medianas (baricentro $G$, el centro de gravedad), mediatrices (circuncentro $O$) y bisectrices (incentro $I$).
Con precisión. El profesor dice, hablando de las alturas, «centro de gravedad»: es un lapsus — el centro de gravedad es el de las medianas. Y «todas coinciden en el isósceles» vale para las cuatro rectas desde el vértice desigual; los cuatro puntos coinciden solo en el equilátero. La recta de Euler (1765) alinea $H$, $G$ y $O$ con $HG = 2\,GO$; el incentro solo cae en ella si el triángulo es isósceles.
Graficar con el análisis. Tres puntos: 1) dominio, rango y valores; 2) $f'$: crece donde es positiva; 3) $f''$: cóncava ($\cap$) donde es negativa, convexa ($\cup$) donde es positiva. Para el seno, $f' = \cos x$ (crece en I ó IV) y $f'' = -\sin x$ (cóncava en I ó II); para el coseno, $f' = -\sin x$ y $f'' = -\cos x$. El detalle que hace la gráfica «bien hecha»: el ángulo de entrada en cada punto es $\arctan$ de la pendiente — $45^\circ$ si $f' = 1$, $135^\circ$ si $f' = -1$, horizontal si $f' = 0$.
Checado. En $3\pi/2$ el coseno entra con $45^\circ$, no $135^\circ$ como respondió el salón: $f'(3\pi/2) = -\sin(3\pi/2) = +1$. Y el «o» de «I ó IV cuadrante» es el «o» matemático — la unión: «prohibido fumar y comer» solo prohíbe hacer las dos cosas a la vez.
Pares e impares. El coseno repite su dibujo al reflejarse en el eje $y$: es par, $f(-x) = f(x)$. El seno necesita dos reflejos (eje $y$, luego eje $x$): simétrico respecto del origen, impar, $f(-x) = -f(x)$. El nombre viene de las potencias ($(-x)^2 = x^2$, $(-x)^3 = -x^3$); el 0 es par ($0 = 2\cdot 0$), por eso $x^2 + c$ sigue siendo par y $x^3 + 1$ deja de ser impar. No toda función es par o impar ($x^2 + x^3$), pero toda función es par + impar. La tangente es impar: $\tan(-x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$. Y una conjetura del salón que queda de tarea: par ⇒ derivada impar (sale derivando $f(-x) = f(x)$ con la cadena).
La tangente y la identidad final. $\tan x = \sin x/\cos x$ no existe donde $\cos x = 0$: en $x = (2k+1)\pi/2$ hay asíntotas verticales (el seno no se anula ahí, por la identidad). $f' = \sec^2 x \gt 0$: crece siempre en su dominio; $(\sec x)' = \sec x\tan x$ se deduce derivando $1/\cos x$ como cociente, y con ella $f'' = 2\sec^2 x\tan x$: convexa donde $\tan \gt 0$ (I ó III). Entra al origen con $45^\circ$; periodo $\pi$. Tarea: graficar cot, sec y csc. Último título, identidades: $\cos(x - y)$ no se dicta — se deduce midiendo la cuerda $PQ$ entre $P = (\cos x, \sin x)$ y $Q = (\cos y, \sin y)$ con la fórmula de la distancia y con la ley de los cosenos ($a = b = 1$, $C = x - y$). Igualando: $\cos(x-y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y$. «Ya no es de memoria: ya saben por qué.»

Laboratorio interactivo · la estrella

Graficar con la derivada: el ángulo de entrada

📖 Para profundizar → Thomas §4.4 · Concavidad y trazado de curvas p. 203

Elige seno, coseno o tangente y mueve el punto. La tangente que ves es la real (pendiente $f'(x_0)$, calculada), el ángulo es $\arctan f'(x_0)$, y los signos de $f'$ y $f''$ dicen si crece y cómo — exactamente el método del pizarrón.

función: x₀ = 0.00

f(x₀) = — f′(x₀) = — f″(x₀) = — ángulo: — —

La circunferencia que se desenrolla

📖 Para profundizar → Thomas §1.3 · Periodicidad y gráficas de las funciones trigonométricas p. 25

Un punto recorre la circunferencia unitaria; su ordenada dibuja el seno y su abscisa, el coseno. Da más de una vuelta para ver la periodicidad, o retrocede a ángulos negativos para ver las simetrías: el coseno se repite (par), el seno se voltea (impar).

θ = 0.00 rad = 0°

sen θ = — cos θ = — tan θ = — cuadrante: — sen² + cos² = —

La cuerda PQ, medida dos veces

📖 Para profundizar → Thomas §1.3 · La ley de los cosenos y las fórmulas para la suma p. 26

La tarea final de la clase, en vivo: $P = (\cos x, \sin x)$ y $Q = (\cos y, \sin y)$. La cuerda $PQ$ se mide con la fórmula de la distancia y con la ley de los cosenos ($a = b = 1$, ángulo $x - y$). Las dos cuentas coinciden para cualquier pareja de ángulos: eso ES la identidad $\cos(x-y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y$.

x = — y = —

distancia²: — 2 − 2cos(x − y): — cos x cos y + sen x sen y = — cos(x − y) = —

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · ¿Qué significan las tres rayas en $\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1$?

2 · ¿Cuánto vale $\tan\frac{\pi}{6}$?

3 · ¿Con qué ángulo cruza la gráfica del seno el eje $x$ en $x = \pi$?

4 · El punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo es…

5 · ¿Cuál de estas funciones es impar?

6 · ¿Dónde tiene asíntotas verticales $\tan x$?

7 · Con $a = b = 1$ y $C = x - y$, la ley de los cosenos da $c^2 = 2 - 2\cos(x-y)$. ¿Qué falta para obtener la identidad?

Para tu cuaderno

Practica: valores, gráficas, simetrías e identidades

📖 Para profundizar → Thomas §1.3 · Ejercicios 1.3: valores exactos (7–12), gráficas y periodos (13–26), fórmulas de resta (35–36) p. 28

1 · Calcula $\sin\frac{5\pi}{6}$, $\cos\frac{4\pi}{3}$ y $\tan\frac{7\pi}{4}$ reduciendo al primer cuadrante.

$5\pi/6 = 150^\circ$, 2.º cuadrante, referencia $180 - 150 = 30^\circ$: $\sin\frac{5\pi}{6} = +\sin\frac{\pi}{6} = \frac12$.

$4\pi/3 = 240^\circ$, 3.º cuadrante, referencia $240 - 180 = 60^\circ$: $\cos\frac{4\pi}{3} = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac12$.

$7\pi/4 = 315^\circ$, 4.º cuadrante, referencia $360 - 315 = 45^\circ$: $\tan\frac{7\pi}{4} = -\tan\frac{\pi}{4} = -1$ (seno − y coseno +).

2 · Comprueba las tres identidades pitagóricas con $\theta = \pi/3$… y deduce $\sec\theta$ sabiendo solo que $\tan\theta = 2$ en el primer cuadrante.

$\cos^2 + \sin^2 = \frac14 + \frac34 = 1$ ✓ · $1 + \tan^2 = 1 + 3 = 4 = \sec^2$ ($\sec\frac{\pi}{3} = 2$) ✓ · $\cot^2 + 1 = \frac13 + 1 = \frac43 = \csc^2$ ($\csc\frac{\pi}{3} = \frac{2}{\sqrt3}$) ✓

Con $\tan\theta = 2$: $\sec^2\theta = 1 + 4 = 5$, así que $\sec\theta = \sqrt5$ (positiva en el 1.er cuadrante) y $\cos\theta = 1/\sqrt5$. Ninguna calculadora: solo la identidad.

3 · ¿Con qué ángulo entra $y = \sin x$ al punto $x = \pi/3$? ¿Y $y = \cos x$ en $x = \pi$? ¿Ahí es cóncava o convexa?

Seno en $\pi/3$: pendiente $\cos\frac{\pi}{3} = \frac12$, ángulo $\arctan\frac12 \approx 26.57^\circ$. Segunda derivada $-\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt3}{2} \lt 0$: cóncava (rumbo al máximo en $\pi/2$).

Coseno en $\pi$: pendiente $-\sin\pi = 0$, entra horizontal ($0^\circ$); $f'' = -\cos\pi = +1 \gt 0$: convexa — es el mínimo $-1$.

4 · Clasifica $x\sin x$, $x\cos x$ y $\sin x + \cos x$ como par, impar o ninguna. Después descompón $e^x$ en su parte par y su parte impar.

$x\sin x$: $(-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x$ → par (impar × impar). $x\cos x$: $(-x)\cos x = -x\cos x$ → impar. $\sin x + \cos x$: en $-x$ da $-\sin x + \cos x$, que no es ni la función ni su negativo → ninguna (compara $x = \pi/2$: $1$ vs $-1$).

$e^x$: parte par $\frac{e^x + e^{-x}}{2}$, parte impar $\frac{e^x - e^{-x}}{2}$ — el coseno y el seno hiperbólicos. Su suma es $e^x$ ✓.

5 · A partir de $\cos(x-y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y$, deduce $\cos(x+y)$… y comprueba con $x = \pi/3$, $y = \pi/6$.

Cambia $y$ por $-y$: $\cos(x+y) = \cos x\cos(-y) + \sin x\sin(-y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y$ (coseno par, seno impar).

Comprobación: $\cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$; y la fórmula: $\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12 = 0$ ✓. De paso, con $x = y$: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

En resumen

Lo que debes llevarte de la Clase 8

Toda la trigonometría cabe en un punto de la circunferencia unitaria: de $x^2 + y^2 = 1$ salen las tres identidades pitagóricas; de dos triángulos, los valores notables; del complemento, el nombre del coseno. Las gráficas no se dibujan «más o menos»: se construyen del análisis — dominio, valores, signo de $f'$, signo de $f''$ y el ángulo de entrada que dicta la derivada. El coseno es par (espejo), el seno y la tangente impares (doble reflexión); la tangente vive entre asíntotas en $(2k+1)\pi/2$, crece siempre y cambia de concavidad con su signo. Y la identidad $\cos(x-y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y$ se deduce midiendo una cuerda dos veces: ya no es de memoria.

¿Te perdiste algo? La Clase 8 Interactiva te lleva por las 26 partes al ritmo de la voz del profesor. Las clases anteriores siguen ahí para el repaso: 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1.

La Clase 9 ya está aquí

Tres tareas quedaron abiertas: graficar cotangente, secante y cosecante («cuidado con las asíntotas»), deducir $\cos(x-y)$ con la ley de los cosenos, y demostrar que la derivada de una función par es impar. Las identidades se cosechan — y con ellas, las integrales trigonométricas. Ir a la Clase 9 ▸

Las funciones trigonométricas