Las trigonométricas no tienen inversa… salvo por pedazos. Con el pedazo correcto nacen el arco seno y el arco tangente, y sus derivadas salen con una caja (\(\tfrac{dx}{dy} = 1/\tfrac{dy}{dx}\)) y un triángulo. Luego, sin memoria: \(\cos(x - y)\) deducido en la circunferencia unitaria, todas las identidades que se le desprenden, y cuatro integrales nuevas —\(\operatorname{sen}^2\), \(\cos^2\), \(\sec\), \(\csc\)—. Al final, la función que los navegantes necesitaban, redefinida como un área: \(\ln x = \int_1^x du/u\), con su gráfica, sus propiedades demostradas «así de fácil» y el número \(e\).
Inversas, identidades, integrales nuevas y el logaritmo: lo que vas a estar consultando al resolver.
sen⁻¹ x = «el arco cuyo seno es x» — no es 1/sen x.
Y para pasar de x a y: un triángulo (hipotenusa 1 para el seno; cateto 1 para la tangente).
El seno «se reparte» y conserva el signo; el coseno junta iguales y lo cambia.
Cuidado: (ln x)² ≠ 2 ln x. El exponente que baja es el de la x.
La sesión arranca ya con las recíprocas en el pizarrón. Cuatro capítulos:
Elige el pedazo \([a, b]\) del seno. La prueba de la recta horizontal decide si ahí es inyectivo (no puede haber una cresta o un valle adentro del intervalo), y la curva reflejada en \(y = x\) es la candidata a inversa. Busca el pedazo más grande que contenga al 0.
Mueve los ángulos \(x\) y \(y\). La cuerda \(PQ\) se mide de dos maneras —distancia entre puntos y ley de cosenos— y el navegador comprueba que coinciden… y que \(\cos x\cos y + \operatorname{sen} x\operatorname{sen} y\) es exactamente \(\cos(x-y)\).
Desliza la \(x\): el área bajo \(1/u\) desde 1 hasta \(x\) —calculada numéricamente— es \(\ln x\). A la derecha, el punto \((x, \ln x)\) con su tangente de pendiente \(1/x\). Cuando el área vale exactamente 1, has encontrado a \(e\).
| # | dato | de dónde |
|---|---|---|
| 1 | dominio \((0,\infty)\) | la integral no cruza \(u = 0\) |
| 2 | cruza en \((1,0)\); no toca el eje \(y\) | \(\int_1^1 = 0\) |
| 3 | \((\ln x)' = 1/x \gt 0\): creciente | TFC parte 1 |
| 4 | \((\ln x)'' = -1/x^2 \lt 0\): cóncava | derivar \(1/x\) |
| 5 | asíntota \(x = 0\); 45° en \((1,0)\); rango \(\mathbb{R}\) | crece sin cota, más despacio que \(x\) |
\(\frac{d}{dx}\ln(ax) = \frac{a}{ax} = \frac{1}{x} = \frac{d}{dx}\ln x\) ⇒ misma derivada ⇒ paralelas: \(\ln(ax) = \ln x + C\). En \(x = 1\): \(C = \ln a\). En \(x = b\): \(\ln(ab) = \ln b + \ln a\).
Las otras tres: \(0 = \ln 1 = \ln(x\cdot\tfrac1x)\) da \(\ln\tfrac1x = -\ln x\); \(\ln\tfrac{x}{y} = \ln(x\cdot\tfrac1y)\) da la resta; y \(\ln(x^a)\) y \(a\ln x\) tienen derivada \(a/x\) — en \(x = 1\), \(C = 0\).
\(\ln\) es continua, vale 0 en 1 y crece sin cota: en algún punto vale 1. Ese punto se llama \(e\): \(\ln e = 1\), es decir, \(\int_1^e du/u = 1\) — el área bajo \(1/u\) desde 1 hasta \(e\) es un cuadrado unitario. \(e \approx 2.71828\); «se llama \(e\) por Euler».
El gancho: \(\ln(e^x) = x\ln e = x\). Falta \(e^{\ln y} = y\) — tomar logaritmo de ambos lados y usar que \(\ln\) es inyectiva. «La inversa del logaritmo va a ser la exponencial.»
Las nueve fotos de la sesión: de la cotangente a la cosecante. Toca cualquiera para ampliarla.
1 · ¿Cuánto vale \(\operatorname{arcsen}\tfrac12\)?
2 · ¿Qué significa \(\operatorname{sen}^{-1}(x)\)?
3 · ¿Cuánto vale \(\dfrac{d}{dx}\arctan x\)?
4 · Si \(\cos(x-y) = \cos x\cos y + \operatorname{sen} x\operatorname{sen} y\), entonces \(\cos(x+y)\) es…
5 · Para calcular \(\int\sec x\,dx\), el truco «muy especial» es…
6 · Con la definición \(\ln x = \int_1^x du/u\), ¿cuánto vale \((\ln x)'\)?
7 · ¿Cuál de estas igualdades es cierta para toda \(x \gt 0\)?
Cadena sobre la derivada del arco seno:
$$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}}\cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}},\qquad -\tfrac12 \lt x \lt \tfrac12$$Comprobación en \(x = 0.25\): \(2/\sqrt{1 - 0.25} = 2/0.866 = 2.309\); numéricamente \([\operatorname{arcsen}(0.502) - \operatorname{arcsen}(0.498)]/0.002 \approx 2.309\) ✓.
El área bajo \(1/\sqrt{1-x^2}\) de 0 a ½ es exactamente el ángulo cuyo seno es ½.
Con la suma \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\):
$$\cos 75^\circ = \cos 45^\circ\cos 30^\circ - \operatorname{sen} 45^\circ\operatorname{sen} 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} \approx 0.2588$$Y de regalo, \(\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.9659\): el signo de en medio es lo único que cambia.
En \(\pi/2\): \(\csc = 1\), \(\cot = 0\), \(\ln 1 = 0\). En \(\pi/4\): \(\csc = \sqrt2\), \(\cot = 1\). El signo menos del truco de la cosecante se voltea al restar.
La receta elegante: sea \(h(x) = \operatorname{arcsen} x + \operatorname{arccos} x\). Entonces
$$h'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0 \quad (-1 \lt x \lt 1)$$Derivada cero ⇒ \(h\) es constante. Evaluar en \(x = 0\): \(h(0) = 0 + \frac{\pi}{2}\). Por continuidad vale también en \(\pm 1\): \(\operatorname{arcsen} x + \operatorname{arccos} x = \frac{\pi}{2}\) ✓. Es el mismo argumento de las propiedades del logaritmo (misma derivada ⇒ constante ⇒ evaluar en un punto cómodo), y explica por qué «el arco seno y el arco coseno se parecen mucho».
¿Te perdiste algo? La Clase 9 Interactiva te lleva por las 19 partes al ritmo de la voz del profesor. La Clase 8, la Clase 7, la Clase 6, la Clase 5, la Clase 4, la Clase 3, la Clase 2 y la Clase 1 siguen ahí para el repaso.