Clase 10 · La exponencial

Formulario · para regresar rápido

Las fórmulas de la clase, a la mano

La exponencial, sus leyes, la base general y las herramientas del laboratorio: lo que vas a estar consultando al resolver.

El número e y las identidades inversas

$$\ln e = 1$$ $$\ln\big(e^{x}\big) = x,\qquad e^{\ln y} = y\ (y > 0)$$

Saber pasar de y = ln x a x = eʸ y de regreso: lo básico.

y = eˣ · dominio, rango, derivadas

$$D = \mathbb{R},\qquad R = (0,\infty)$$ $$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x},\qquad \frac{d^{2}}{dx^{2}}e^{x} = e^{x} > 0$$

Creciente, convexa, pasa por (0,1) a 45°, asíntota y = 0.

Las cuatro leyes de la exponencial

$$e^{x}e^{y} = e^{x+y},\qquad e^{-x} = \frac{1}{e^{x}}$$ $$\frac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x-y},\qquad \big(e^{x}\big)^{y} = e^{xy}$$

Se demuestran bautizando (w, z), pasando a ln y regresando.

La exponencial de base a (a > 0)

$$a^{x} := e^{x\ln a}$$ $$\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\ln a,\qquad \frac{d^{2}}{dx^{2}}a^{x} = a^{x}(\ln a)^{2}$$

Los casos, por el signo de ln a

$$a > 1:\ \text{creciente}$$ $$ 0 < a < 1:\ \text{decreciente}$$ $$\text{siempre convexa, siempre por }(0,1),\quad \tan\theta = \ln a$$

Solo eˣ entra a 45°; 2ˣ a 34.7°; (1/e)ˣ a 135°.

Regla de L'Hôpital (0/0 o ∞/∞) · con hipótesis

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Si f(a) = g(a) = 0, f y g derivables en una vecindad, g′ ≠ 0 ahí y el límite de la derecha existe. Sin revisarlo, «se prohíbe».

Reconstruir f desde f′ (TFC parte 2)

$$f(b) = f(a) + \int_a^b f'(x)\,dx$$ $$f' = mx + c \;\Longrightarrow\; f = \tfrac{m}{2}x^{2} + cx + C$$

Pegar tramos: valor Y derivada iguales en la unión.

Área entre curvas y regla de potencias

$$A = \int_a^b\big[f(x) - g(x)\big]\,dx\quad (f \ge g)$$ $$\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\ (n \neq -1)$$

El mapa de la sesión

Del logaritmo a la exponencial… y al laboratorio

📖 Para profundizar → Thomas §7.3 · Funciones exponenciales p. 377 📖 Para profundizar → Thomas §7.5 · Formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital p. 396

Cuatro capítulos: la inversa y su gráfica, las cuatro leyes demostradas, la base general, y tres problemas del laboratorio 3.

La inversa, demostrada, y la gráfica de $e^{x}$. Con $f(x) = \ln x$ y $g(y) = e^{y}$, la ida $\ln(e^{y}) = y$ sale sola; la vuelta pide el truco «sea $z = e^{\ln x}$»: tomar $\ln$, bajar el exponente ($\ln e = 1$) y usar que $\ln$ es inyectiva ⇒ $e^{\ln x} = x$. Para graficar, la receta del logaritmo: dominio $\mathbb{R}$ y rango $(0,\infty)$ (la inversa los intercambia); la derivada SIN saberla, por la inversa: $\frac{d\,e^{y}}{dy} = \frac{1}{1/x} = x = e^{y}$ ⇒ creciente; segunda derivada $e^{x} > 0$ ⇒ convexa; espejo de $\ln$ en $y = x$, por $(0,1)$ a $45^\circ$, asíntota horizontal $y = 0$. Y crece «mucho, muy rápido»: la leyenda del ajedrez, $1 + 2 + \cdots + 2^{63} = 2^{64} - 1 \approx 1.8\times 10^{19}$ granos.
Las cuatro leyes, demostradas «pasando al logaritmo». Teorema: $e^{x}e^{y} = e^{x+y}$, $e^{-x} = 1/e^{x}$, $e^{x}/e^{y} = e^{x-y}$, $(e^{x})^{y} = e^{xy}$ — las «equivalentes» de las cuatro del logaritmo. La receta: bautizar ($w = e^{x}, z = e^{y}, s = e^{x+y}$), traducir ($x = \ln w$…), usar la propiedad del logaritmo ($\ln s = \ln w + \ln z = \ln(wz)$) y regresar ($s = wz$). La 3ª sale gratis de la 1ª y la 2ª; en la 4ª hay que bajar la $y$ y luego la $x$ en dos tiempos — bajar $xy$ de golpe sería usar lo que se demuestra.
$a^{x} = e^{x\ln a}$: siglos de potencias. $x^{n}$ (contar factores), $x^{-n} = 1/x^{n}$, $x^{p/q} = \sqrt[q]{x^{p}}$… y en $x^{\sqrt 2}$ la escalera se detuvo siglos. La observación $a^{x} = e^{\ln(a^{x})} = e^{x\ln a}$ la termina: DEFINICIÓN $a^{x} := e^{x\ln a}$ ($a > 0$). Derivada $a^{x}\ln a$ (cadena) — el signo lo pone $\ln a$: tres casos; segunda derivada $a^{x}(\ln a)^{2} > 0$: convexa siempre (el 2 no baja: es el logaritmo al cuadrado). Todas por $(0,1)$ con $\tan\theta = \ln a$: $2^{x}$ por abajo de $e^{x}$ a la derecha y por arriba a la izquierda; $(1/e)^{x}$ entra a $135^\circ$ ($\tan\theta = -1$, 2º cuadrante). Todas biyectivas ⇒ todas con inversa.
Laboratorio 3. (1) $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\int_2^{2+x}\sqrt{1+t^{3}}\,dt$ da $0/0$; con L'Hôpital — hipótesis revisadas — TFC arriba y 1 abajo: $\sqrt{1 + 2^{3}} = 3$; o como derivada $G'(2)$. (2) $f(1) = 10$ y la gráfica de $f'$: derivada lineal ⇒ $f$ cuadrática por tramos; $f_1 = x^{2} - 2x + 11$; para $f_2$, los datos $f'(3) = 0$, $f'(4) = -1$ dan $A_2 = -\tfrac12$, $B_2 = 3$ y la comprobación falla: $f_2'(2) = 1 \neq 2$. El error es de lectura: la gráfica de $f'$ tiene otro quiebre en 3. Con el tramo correcto (o con el TFC y dos triángulos de área 1): $f(2) = 11$, $f(3) = 12$. (3) Azulejo: $\int_0^1 (x^{1/3} - x^{3})\,dx = \tfrac34 - \tfrac14 = \tfrac12$: la misma cantidad de azul que de amarillo.

Laboratorio interactivo · la estrella

La base a, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §7.3 · La función exponencial general aˣ y su derivada p. 380

Mueve la base $a$: la curva $y = a^{x}$ (índigo) y su espejo, la inversa (teal), se calculan en tu navegador. La tangente en $(0,1)$ tiene pendiente $\ln a$: observa cómo el ángulo cruza los $45^\circ$ exactamente en $a = e$, y cómo todo se voltea al pasar $a = 1$.

a = 2.00 mostrar la inversa (log_a x)

ln a—

ángulo en (0,1)—

comportamiento—

a² y a⁻¹—

Reconstruir f desde f′, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §5.4 · TFC parte 2: el cambio de f es la integral de f′ p. 277

El problema 2 del laboratorio, sin parábolas: $f(x) = f(1) + \int_1^x f'(t)\,dt$. Arrastra la $x$: el área bajo la gráfica de $f'$ (positiva en teal, negativa en ámbar) se acumula y dibuja a $f$. Lee $f(2)$ y $f(3)$… y mira dónde $f$ tiene su mínimo y su máximo.

x = 2.00

∫₁ˣ f′—

f(x) = 10 + ∫₁ˣ f′—

f′(x)—

f(2) · f(3)11 · 12

Azul y amarillo, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §5.6 · Área entre curvas p. 294

El azulejo del problema 3, generalizado: azul entre $y = x^{1/p}$ y $y = x^{p}$. Para $p = 3$ sale mitad y mitad. Mueve $p$: el área azul es $\int_0^1 (x^{1/p} - x^{p})\,dx = \dfrac{p-1}{p+1}$. ¿Para qué $p$ el azul gana?

p = 3.00

azul—

amarillo—

fórmula (p−1)/(p+1)—

El corazón de la clase

Las demostraciones, en cuatro movimientos

📖 Para profundizar → Thomas §7.3 · Teorema 3: leyes de los exponentes p. 380 📖 Para profundizar → Thomas §7.1 · Teorema 1: derivada de la inversa p. 365

La inversa: «sea z»

$z = e^{\ln x}$ ⇒ $\ln z = \ln x\cdot\ln e = \ln x$ ⇒ $z = x$ (inyectividad).

$$e^{\ln x} = x,\qquad \ln(e^{y}) = y$$

La derivada, por la inversa

$x = e^{y}$, $y = \ln x$:

$$\frac{d\,e^{y}}{dy} = \frac{1}{d\ln x/dx} = \frac{1}{1/x} = x = e^{y}$$

Ley 1: $e^{x}e^{y} = e^{x+y}$

$w = e^{x}, z = e^{y}, s = e^{x+y}$; $\ln s = x + y = \ln w + \ln z = \ln(wz)$ ⇒ $s = wz$.

Ley 2: $e^{-x} = 1/e^{x}$

$w = e^{-x}$ ⇒ $x = \ln\tfrac1w$; $z = \tfrac{1}{e^{x}}$ ⇒ $\ln z = -x$ ⇒ $x = \ln\tfrac1z$; iguales ⇒ $w = z$.

Ley 3, gratis

$$\frac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x}\cdot\frac{1}{e^{y}} \overset{(2)}{=} e^{x}e^{-y} \overset{(1)}{=} e^{x-y}$$

Ley 4: $(e^{x})^{y} = e^{xy}$

$\ln w = y\ln(e^{x}) = yx\ln e = xy$ (en dos tiempos); $\ln z = xy$ ⇒ $w = z$.

La ventaja de pasar de exponencial a logarítmica. «En muchos cursos: memorícense, son las propiedades. Pero uno dice: ¿por qué?» — Aquí cada ley cabe en cuatro renglones porque el logaritmo ya tenía las suyas demostradas: bautizar, traducir, usar, regresar.

Laboratorio 3 · los tres problemas resueltos

L'Hôpital, la gráfica de f′ y el azulejo

🧪 El enunciado completo → Laboratorio 3 · TFC e integral por sustitución, ejercicio por ejercicio ir al lab 📖 Para profundizar → Thomas §7.5 · Teorema 5: regla de L'Hôpital, con la ¡Precaución! del margen p. 397 📖 Para profundizar → Thomas §4.3 · Criterio de la primera derivada p. 200 📄 Para practicar áreas entre curvas → Tarea 4 · Cuaderno de ejercicios · Cálculo III (Dra. Lorena Zogaib, ITAM) p. 12 📄 …y sus soluciones oficiales — consúltalas solo después de intentarlo p. 37

1 · El límite con integral

Sustituir da $0/0$. Hipótesis: numerador derivable (TFC) y continuo, denominador $x$, forma $0/0$. Entonces:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\int_2^{2+x}\sqrt{1+t^{3}}\,dt}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+(2+x)^{3}}}{1} = 3$$

O como derivada: $G(u) = \int_2^u\sqrt{1+t^3}\,dt$, el cociente es $\frac{G(2+x) - G(2)}{x} \to G'(2) = 3$.

2 · f desde la gráfica de f′

$f'$ lineal por tramos ⇒ $f$ cuadrática por tramos. En $[0,2]$: $2A_1 + B_1 = 0$, $4A_1 + B_1 = 2$, $f(1) = 10$:

$$f_1(x) = x^{2} - 2x + 11,\qquad f(2) = 11$$

El reto del error: $f'(3) = 0, f'(4) = -1$ describen el tramo $[3,4]$, no $[2,3]$ — por eso $f_2'(2) = 1 \neq 2$. Con $[2,3]$: $f_2 = -x^{2} + 6x + 3$, $f(3) = 12$. Camino corto: $f(3) = 10 + 1 + 1$ (dos triángulos).

3 · Azul y amarillo

Cuadrado de área 1; azul entre $x^{1/3}$ (arriba) y $x^{3}$ (abajo):

$$A_{\text{azul}} = \int_0^1\big(x^{1/3} - x^{3}\big)dx = \Big[\tfrac34 x^{4/3} - \tfrac{x^4}{4}\Big]_0^1 = \tfrac12$$

Amarillo $= 1 - \tfrac12 = \tfrac12$: la misma cantidad. (Las curvas son inversas: reflejos en $y = x$.)

4 y 5 · lo que queda

Traslación: $\int_a^b f(x)\,dx = \int_{a+\lambda}^{b+\lambda} f(x-\lambda)\,dx$ con $u = x - \lambda$ («ya lo hicimos»). Y $h(x) = \int_1^x \frac{f(t)}{t}\,dt$: con $f \equiv 1$ es $\ln x$; en general $h'(x) = f(x)/x$, $h(1) = 0$.

📸 La clase, en vivo

El pizarrón de la Clase 10

Las doce fotos de la sesión: de la definición de $e$ al azulejo. Toca cualquiera para ampliarla.

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · ¿Cómo se define el número $e$?

2 · ¿Cómo se ganó la derivada de $e^{x}$ sin «saberla»?

3 · En la demostración de $(e^{x})^{y} = e^{xy}$, ¿por qué NO se baja el $xy$ de golpe?

4 · ¿Qué significa $5^{x}$ para $x$ irracional?

5 · $y = (1/3)^{x}$: ¿crece o decrece, y cómo se curva?

6 · ¿Cuándo se puede aplicar la regla de L'Hôpital?

7 · Con $f(1) = 10$ y la gráfica de $f'$ del laboratorio, ¿cuánto vale $f(2)$?

Para tu cuaderno

Practica: identidades, ángulos, L'Hôpital y áreas

📖 Para profundizar → Thomas §7.3 · Ejercicios de la sección 7.3 p. 384

1 · Simplifica: $\ln(e^{3})$, $e^{\ln 5}$ y $e^{2\ln 3}$.

$\ln(e^{3}) = 3$ y $e^{\ln 5} = 5$: las identidades inversas.

$e^{2\ln 3} = e^{\ln(3^{2})} = 3^{2} = 9$ — bajar/subir el exponente con $\ln(a^{b}) = b\ln a$. (O por la definición: $3^{2} = e^{2\ln 3}$.)

2 · ¿Con qué ángulo cruza $y = 3^{x}$ el eje $y$?

Cruza en $(0,1)$ con pendiente $(3^{x})'(0) = 3^{0}\ln 3 = \ln 3 \approx 1.0986$.

$\theta = \arctan(\ln 3) \approx 47.7^\circ$: un poco más que los $45^\circ$ de $e^{x}$, porque $3 > e$.

3 · Resuelve $5\cdot 2^{x} = 40$ de dos formas.

Reconociendo: $2^{x} = 8 = 2^{3}$ ⇒ $x = 3$ (la exponencial es inyectiva).

Cambiando de idioma: $2^{x} = 8$ ⇒ $x\ln 2 = \ln 8$ ⇒ $x = \frac{\ln 8}{\ln 2} = \frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$.

4 · Calcula $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x} - 1}{x}$ revisando las hipótesis de L'Hôpital.

Sustituir: $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$ ✓ forma indeterminada. $e^{x} - 1$ y $x$ son derivables en todo $\mathbb{R}$ ✓, $(x)' = 1 \neq 0$ ✓.

$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{1} = 1$ ✓ existe. Por lo tanto el límite vale $1$. (Es la derivada de $e^{x}$ en 0 — la pendiente de $45^\circ$.)

5 · Área de la región entre $y = \sqrt{x}$ y $y = x^{2}$ en $[0,1]$.

Arriba $\sqrt x$, abajo $x^{2}$ (en $x = \tfrac14$: $\tfrac12 > \tfrac1{16}$). Son inversas: reflejos en $y = x$.

$$A = \int_0^1\big(x^{1/2} - x^{2}\big)dx = \Big[\tfrac23 x^{3/2} - \tfrac13 x^{3}\Big]_0^1 = \tfrac23 - \tfrac13 = \tfrac13$$

Con la fórmula del laboratorio, $p = 2$: $\frac{p-1}{p+1} = \frac13$ ✓.

En resumen

Lo que debes llevarte de la Clase 10

Un número definido por una sola propiedad ($\ln e = 1$) y una inversa demostrada con honestidad («sea $z = e^{\ln x}$») bastan para construir toda la exponencial: $(e^{x})' = e^{x}$ sale de la inversa, las cuatro leyes salen de las cuatro del logaritmo — bautizar, traducir, usar, regresar —, y $a^{x} := e^{x\ln a}$ cierra la escalera de las potencias que se detuvo siglos en $x^{\sqrt 2}$. Todas las $a^{x}$ pasan por $(0,1)$, son convexas y biyectivas; el signo de $\ln a$ decide si suben o bajan y $\tan\theta = \ln a$ decide el ángulo. Del laboratorio: L'Hôpital solo con hipótesis, una $f$ reconstruida desde $f'$ con un error de lectura que enseña más que la respuesta ($f(2) = 11$, $f(3) = 12$), y un azulejo exactamente mitad azul, mitad amarillo.

¿Te perdiste algo? La Clase 10 Interactiva te lleva por las 21 partes al ritmo de la voz del profesor. Las clases anteriores siguen en la portada del curso para el repaso.

La Clase 11 ya está aquí

«Todas las exponenciales son biyectivas; por lo tanto tienen inversa» — la inversa de $a^{x}$, el logaritmo de base $a$, y la revisión de lo que quedó del laboratorio 3 y la tarea 4. Ir a la Clase 11 ▸

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