Una clase sin teorema nuevo y con todos los teoremas trabajando. Se cierra el laboratorio 3 y se abre el 4: sustituciones en definidas que fabrican integrales gemelas (\(h(x) + h(1/x) = 0\), \(\int_0^a \frac{f}{f+f(a-x)} = \frac{a}{2}\) para cualquier \(f\)), la regla de Leibniz en un cociente y dentro de otra integral, un promedio que se pondera con la fracción del intervalo (\(\mu = \frac{\lambda-a}{b-a}\)), un valor absoluto que hay que redefinir, y los logaritmos como arma: desarmar antes de derivar — hasta la derivación logarítmica de \((\sqrt{x})^{x^x}\).
Sustitución en definidas, Leibniz, promedios y logaritmos: lo que vas a estar consultando al resolver.
Los límites viajan con la sustitución; la variable de integración es muda.
Con \(f, g\) impares, \(h(x) = x^2\int_{g(x^3)}^{g(x)} f\) resulta par.
Cuándo: variable en el exponente, o expresión larga.
Clase-taller: cada problema es un hilo completo, en el orden del pizarrón. Cuatro capítulos:
Elige la \(f\) y mueve la \(a\): la curva \(\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}\) y su gemela \(\frac{f(a-x)}{f(a-x)+f(x)}\) son espejo en \(a/2\) y suman \(1\) en cada punto. El navegador integra numéricamente… y siempre sale \(a/2\).
\(f(x) = 1.2 + 0.6\operatorname{sen}(2x)\) en \([0,3]\). Mueve la \(\lambda\): los promedios de los dos pedazos cambian, pero pesados con \(\mu = \frac{\lambda-a}{b-a}\) y \(1-\mu\) siempre reconstruyen el promedio total.
La derivación logarítmica dice \(\frac{d}{dx}x^x = x^x(1+\ln x)\). Mueve el punto: la tangente se dibuja con esa fórmula y el navegador la compara con la pendiente por diferencias. Donde \(1+\ln x = 0\) — en \(x = 1/e\) — la tangente es horizontal.
Problemas 5, 6 y 7, las dos lagartijas y el cazuelazo del promedio. Los enunciados se reconstruyeron del pizarrón.
📄 Primas hermanas → Cuaderno de Cálculo III (Dra. Lorena Zogaib, ITAM), Tarea 3: ej. 3 (u = 1/t) y 12(j) (u = 1 + sen²x) p. 9 y 11 📄 …y sus soluciones oficiales — consúltalas solo después de intentarlo p. 29 y 36\(h(x) = \int_1^x \frac1t f\!\left(\frac{t^2+1}{t}\right)dt\). Con \(t + 1/t\) y \(u = 1/t\), \(dt = -du/u^2\), límites \(1 \to 1\), \(1/x \to x\):
$$h\!\left(\tfrac1x\right) = -\int_1^x \tfrac1u f\!\left(u + \tfrac1u\right)du = -h(x)$$(a) \(u = a - x\) intercambia las mitades. (b) \(I + I = \int_0^a 1\,dx = a\). (c) con \(f = x^4\), \(a = 1\):
$$\int_0^1 \frac{x^4}{x^4+(1-x)^4}\,dx = \frac12$$Derivable por tres teoremas encadenados;
$$h' = x^2\big(f(g(x))g'(x) - 3x^2 f(g(x^3))g'(x^3)\big) + 2x\!\int_{g(x^3)}^{g(x)}\! f$$Con \(f, g\) impares: \(t = -s\) ⇒ \(h(-x) = h(x)\), par.
Y con \(v(x) = \int_2^x 2\cos^5(t^4)dt\) como límite: \(f' = \frac{2\cos^5(x^4)}{1+v^{20}+\cos^{18}v}\). Se dejan indicadas.
Y \(\mu\): del despeje del pizarrón, con \(\int_a^b = \int_a^\lambda + \int_\lambda^b\), sale \(\mu = \frac{\lambda-a}{b-a} \in (0,1)\).
1: \(\int_{\pi/3}^{\pi}\operatorname{sen}|\pi-3x| = 0\); \(\int_0^{\pi/2}\frac{5\operatorname{sen}x\cos x}{(1+\operatorname{sen}^2x)^2} = \frac54\).
2: \(f' = \frac{2x^2(3\ln x-1)}{\ln^2 x} - \frac2x\); \(\frac12\big[\frac{4x^3}{x^4+5} + \tan x\big]\); \(\ln(3-x)\frac{3+x^6}{x^5+7} - \frac{1}{3-x}\int_0^x\frac{3+t^6}{t^5+7}dt\).
3: \(y' = (\sqrt x)^{x^x}\frac{x^x}{2}\big[\frac1x + \ln x(1+\ln x)\big]\); \(y' = y\big[\frac{2}{x\ln x} - \frac{5x}{x^2+1} - \frac{\cos x}{2(2+\operatorname{sen}x)}\big]\).
Las veinte fotos de la sesión — la clase más fotografiada del curso. Toca cualquiera para ampliarla.
1 · En \(h(1/x) = \int_1^{1/x}\frac1t f(t+\frac1t)\,dt\), la sustitución \(u = 1/t\) manda los límites a…
2 · Para cualquier \(f\) continua en \([0,a]\), \(\displaystyle\int_0^a \frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}\,dx\) vale…
3 · \(h(x) = x^2\int_{g(x^3)}^{g(x)} f(t)\,dt\) con \(f\) y \(g\) impares. ¿Cómo es \(h\)?
4 · En \(\frac{d}{dx}\int_{g(x^3)}^{g(x)} f(t)\,dt\), el término del límite inferior es…
5 · Si \(\bar f(a,b) = \mu\bar f(a,\lambda) + (1-\mu)\bar f(\lambda,b)\) para toda \(f\), entonces \(\mu\) es…
6 · \(\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi}\operatorname{sen}(|\pi-3x|)\,dx\) vale…
7 · \(\frac{d}{dx}\,x^x\) es…
Reconocer la forma: con \(f(x) = \operatorname{sen}x\) y \(a = \pi/2\), \(f(a-x) = \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}-x) = \cos x\). Es \(\int_0^a \frac{f}{f+f(a-x)}\).
$$\int_0^{\pi/2}\frac{\operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}x+\cos x}\,dx = \frac{a}{2} = \frac{\pi}{4} = 0.78539\ldots$$Verificado numéricamente: \(0.785398\). (Y el mismo truco da \(\pi/4\) para \(\frac{\sqrt{\operatorname{sen}x}}{\sqrt{\operatorname{sen}x}+\sqrt{\cos x}}\).)
Leibniz con cadena en los dos límites:
$$G'(x) = \cos\!\big((x^3)^2\big)\cdot 3x^2 - \cos\!\big((x^2)^2\big)\cdot 2x = 3x^2\cos(x^6) - 2x\cos(x^4)$$La integral no tiene antiderivada elemental — y no hizo falta.
\(\bar f(0,3) = \frac13\int_0^3 x^2 = \frac13\cdot 9 = 3\); \(\bar f(0,1) = \int_0^1 x^2 = \frac13\); \(\bar f(1,3) = \frac12\int_1^3 x^2 = \frac12\cdot\frac{26}{3} = \frac{13}{3}\).
$$\mu = \frac{\lambda-a}{b-a} = \frac13:\qquad \frac13\cdot\frac13 + \frac23\cdot\frac{13}{3} = \frac19 + \frac{26}{9} = \frac{27}{9} = 3 \;\checkmark$$\(u = 1 + \operatorname{sen}^2 x\), \(du = 2\operatorname{sen}x\cos x\,dx\); límites \(0 \to 1\), \(\pi/4 \to 1 + \tfrac12 = \tfrac32\):
$$\frac32\int_1^{3/2}\frac{du}{u^2} = \frac32\left[-\frac1u\right]_1^{3/2} = \frac32\left(1 - \frac23\right) = \frac32\cdot\frac13 = \frac12$$\(\ln y = \operatorname{sen}x\cdot\ln x\). Derivar ambos lados (producto a la derecha):
$$\frac{y'}{y} = \cos x\,\ln x + \operatorname{sen}x\cdot\frac1x \qquad\Longrightarrow\qquad y' = x^{\operatorname{sen}x}\left(\cos x\ln x + \frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)$$Sin olvidar pasar la \(y\) al otro lado. Verificado en sympy.
¿Te perdiste algo? La Clase 11 Interactiva te lleva por las 18 partes al ritmo de la voz del profesor. La Clase 10 (exponencial), la Clase 9 (logaritmo), la Clase 6 (sustitución), la Clase 5 (Leibniz), la Clase 4 (TFC) y la Clase 3 (propiedades y promedio) siguen ahí para el repaso.