Laboratorio 4 · Integral por sustitución y logaritmo natural

Los ejercicios

Ejercicio por ejercicio, con su parte

El enunciado fiel, y debajo el botón a la parte de la clase interactiva donde se resuelve — o, si quedó pendiente, la parte donde vive la herramienta. Lo honesto: primero inténtalo en tu cuaderno.

1Nueve integrales definidas

Calcula las siguientes integrales definidas:

$$\text{a)}\;\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{\csc(x)} \qquad \text{b)}\;\int_{0}^{\pi/2} \left(\frac{d}{dx}\cos^{2025}(x)\right)dx \qquad \text{c)}\;\int_{1/2}^{5/2} x\sqrt{2x-3}\,dx$$ $$\text{d)}\;\int_{\pi/3}^{\pi} \operatorname{sen}|\pi - 3x|\,dx \qquad \text{e)}\;\int_{1}^{7} \frac{5t}{\sqrt{1+t}}\,dt \qquad \text{f)}\;\int_{\pi/8}^{\pi/4} \frac{2\cos(2\theta)}{\operatorname{sen}^{3}(2\theta)}\,d\theta$$ $$\text{g)}\;\int_{1}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{3}+3}}\,dt,\; x \ge 1 \qquad \text{h)}\;\int_{0}^{\pi/2} \frac{5\operatorname{sen}(x)\cos(x)}{\bigl(1+\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr)^{2}}\,dx \qquad \text{i)}\;\int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{1+t}}\,dt,\; x \ge 0$$

▶ Clase 11 · Parte 11 — (d): el seno de un valor absoluto ▶ Clase 11 · Parte 12 — (h): la segunda integral en azul — u = 1 + sen²x → 5/4

✍️ Para tu cuaderno — las otras siete quedaron para el lunes: (a) es $\int \operatorname{sen}$, (b) es el TFC parte 2 aplicado a una derivada (vale $-1$), (c), (e), (g) e (i) son sustituciones con la raíz (Clase 6), y (f) pide $u=\operatorname{sen}(2\theta)$. Recuerda cambiar los límites junto con la variable.

▶ Clase 6 · Parte 1 — la sustitución: la cadena al revés 📖 Para profundizar → Thomas §5.6 · sustitución en integrales definidas p. 291

2Derivar con logaritmos

Derivar.

$$\text{a)}\; f(x) = \frac{2x^{3}}{\ln(x)} + \ln\!\left(\frac{4}{x^{2}}\right) \qquad \text{b)}\; f(x) = \ln\sqrt{\frac{x^{4}+5}{\cos(x)}} \qquad \text{c)}\; f(x) = \int_{0}^{x} \ln(3-x)\,\frac{3+t^{6}}{t^{5}+7}\,dt$$

▶ Clase 11 · Parte 13 — 2(a): ¿baja el 2? ▶ Clase 11 · Parte 14 — 2(b): propiedades antes de derivar ▶ Clase 11 · Parte 15 — 2(c): un logaritmo en el lugar equivocado

✍️ Para tu cuaderno — antes de derivar, simplifica con las propiedades del logaritmo (Clase 9): $\ln(4/x^2) = \ln 4 - 2\ln x$, $\ln\sqrt{A/B} = \tfrac12(\ln A - \ln B)$. En (c) el $\ln(3-x)$ no depende de $t$: sale de la integral como factor, y la derivada es la de un producto.

📖 Para profundizar → Thomas §7.2 · el logaritmo natural y su derivada p. 369

3Derivación logarítmica

Derivar usando derivación logarítmica:

$$\text{a)}\; f(x) = \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{x^{x}} \qquad \text{b)}\; h(x) = \sqrt{x}\; x^{\sqrt{x}}\, x^{\ln(x)},\; x \gt 0 \qquad \text{c)}\; f(x) = \frac{\ln^{2}(x)}{(x^{2}+1)^{5/2}\sqrt{2+\operatorname{sen}(x)}}$$

▶ Clase 11 · Parte 16 — derivación logarítmica: ¿cuándo? ▶ Clase 11 · Parte 17 — 3(a): (√x)^(x^x) ▶ Clase 11 · Parte 18 — 3(b): la expresión larga

✍️ Para tu cuaderno — (c) quedó para practicar: toma $\ln$ de los dos lados, convierte productos, cocientes y potencias en sumas, deriva, y despeja $f'(x) = f(x)\cdot(\ldots)$.

📖 Para profundizar → Thomas §7.2 · derivación logarítmica p. 375

4Nueve integrales indefinidas

Determina las siguientes integrales indefinidas:

$$\text{a)}\;\int \frac{dx}{\cos^{2}(x)\,[2+\tan(x)]^{5}} \qquad \text{b)}\;\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}}\,dx \qquad \text{c)}\;\int \frac{\cos(x)\operatorname{sen}(x)}{\sqrt{1+\cos(x)}}\,dx$$ $$\text{d)}\;\int (z^{5}+4z^{2})(z^{3}+1)^{12}\,dz \qquad \text{e)}\;\int_{0}^{1} \sqrt{1+\sqrt{x}}\,dx \qquad \text{f)}\;\int \sqrt{\frac{x^{4}}{x^{3}-1}}\,dx$$ $$\text{g)}\;\int \frac{x\cos\!\bigl(\sqrt{x^{2}+5}\bigr)}{\sqrt{x^{2}+5}}\,dx \qquad \text{h)}\;\int [1+\ln(x)]\cot\bigl(x\ln(x)\bigr)\,dx \qquad \text{i)}\;\int \frac{1}{x + x\operatorname{sen}(\ln(x))}\,dx$$

✍️ Para tu cuaderno — pendientes: el profesor las dejó «para el lunes». Todas caen con una sustitución bien elegida — busca la pareja $u,\; du$ escondida: $u=2+\tan x$ en (a), $u=z^3+1$ en (d), $u=\sqrt{x^2+5}$ en (g), $u=x\ln x$ en (h), $u=\ln x$ en (i); (b), (c), (e) y (f) piden preparar el integrando antes, como en la Clase 6.

▶ Clase 6 · Parte 2 — inciso (c): transformar antes de sustituir ▶ Clase 6 · Parte 3 — inciso (e): el conjugado y las identidades ▶ Clase 9 · Parte 13 — el truco de la secante… y la cosecante 📖 Para profundizar → Thomas §5.5 · integrales indefinidas y el método de sustitución p. 284

5Todas las f que cumplen la ecuación

Halla todas las funciones diferenciables $f$ que satisfacen la ecuación

$$[f(x)]^{2} = \int_{0}^{x} \frac{u\,f(u)}{5+u^{2}}\,du, \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}.$$

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. La idea es la de «encuentra $f$ y $a$» de la Clase 5: deriva los dos lados (TFC), y no olvides que la solución $f \equiv 0$ también cumple — por eso dice todas.

▶ Clase 5 · Parte 11 — la constante primero: a = 81 (derivar los dos lados) 📖 Para profundizar → Thomas §5.4 · ejercicios 61–64 (encuentre f) p. 283

6f(x) − f(1/x)

Sea $f(x) = \displaystyle\int_{1}^{x} \frac{(\ln(t))^{2}}{1+t}\,dt$, con $x \gt 0$. Demuestra que

$$f(x) - f\!\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{(\ln(x))^{3}}{3}\,.$$

Sugerencia: en $f(1/x)$ hacer el cambio de variable $u = 1/t$. Después usar propiedades de la integral para resolver $f(x) - f(1/x)$.

✍️ Para tu cuaderno — pendiente — pero es prima hermana del problema 5 del Laboratorio 3: la misma sustitución $u=1/t$ con cambio de límites. Al restar, los integrandos se combinan en $\tfrac{(\ln u)^2}{u}$, y $\int_1^x \tfrac{(\ln u)^2}{u}\,du = \tfrac{(\ln x)^3}{3}$.

▶ Clase 11 · Parte 1 — Problema 5 del Lab 3: h(x) y h(1/x) — el mismo truco 📖 Para profundizar → Thomas §5.6 · sustitución en integrales definidas p. 291

7Una f par escondida en una ecuación integral

Determina una función diferenciable $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que sea par, con $f(0) = 0$ y tal que

$$\ln\bigl(1+f(x)\bigr) = \int_{0}^{x^{2}} \frac{\operatorname{sen}(t)}{1+f(\sqrt{t}\,)}\,dt, \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}.$$

(Examen Dep. 1, 2024-O)

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. Deriva los dos lados (Leibniz con el límite $x^2$) y usa que $f$ es par para que $f(\sqrt{x^2}) = f(x)$; el $1+f$ se cancela y queda una ecuación sencilla para $f'$.

▶ Clase 5 · Parte 16 — Leibniz, demostrado 📖 Para profundizar → Thomas · regla de Leibniz p. 306

★Cazuelazo semanal

Demuestra que la función definida como sigue

$$f(x) = \begin{cases} \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{n}\right) + \operatorname{sen}\!\left(\frac{2x}{n}\right) + \cdots + \operatorname{sen}\!\left(\frac{(n-1)x}{n}\right)\right], & \text{si } x \ne 0, \\[10pt] 0, & \text{si } x = 0, \end{cases}$$

es continua en todo su dominio.

✍️ Para tu cuaderno — pendiente. La suma es una suma de Riemann disfrazada: $\tfrac1n\sum \operatorname{sen}(kx/n) \to \int_0^1 \operatorname{sen}(xs)\,ds = \tfrac{1-\cos x}{x}$ para $x\ne0$, que tiende a $0 = f(0)$ cuando $x\to0$. Es «Riemann al revés», como en la Clase 4.

▶ Clase 4 · Parte 22 — Riemann al revés: de la suma a la integral 📖 Para profundizar → Thomas §5.3 · la integral definida como límite de sumas de Riemann p. 262

Las clases donde vive este laboratorio ▸

La Clase 11 resuelve la mitad; las herramientas están en la Clase 6 (sustitución) y la Clase 9 (logaritmo). ¿Vienes del principio? El Laboratorio 3 está antes.