TFC e integral por sustitución

Sea \(F : I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) una función diferenciable en \(x = 0 \in I\). Calcular el siguiente límite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\int_{2}^{2+x} \sqrt{1 + t^{3}}\,dt\,.$$

Sugerencia: utiliza el TFC y recuerda que \(F'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{F(x) - F(0)}{x}\).

Considera que \(f(1) = 10\) y que la gráfica de la Fig. 1 es la derivada de \(f\). Encuentra el valor de \(f(2)\) y de \(f(3)\).

Una fábrica de azulejos tiene el diseño de la Fig. 2, donde el cuadrado \([0,1]\times[0,1]\) representa el azulejo, la parte sombreada entre las curvas \(x^{1/3}\) y \(x^{3}\) está pintada de azul y el resto de amarillo.

a) ¿Se requiere más azul o más amarillo?   b) ¿En qué proporción?

Muestra que si \(f\) es continua en el intervalo \([a,b]\) con \(a \lt b\) y \(\lambda \ne 0\) es una constante, entonces:

$$\text{a)}\; \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a+\lambda}^{b+\lambda} f(x-\lambda)\,dx\,,\qquad \text{b)}\; \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \frac{1}{\lambda}\int_{\lambda a}^{\lambda b} f\!\left(\frac{x}{\lambda}\right)dx\,.$$

Sea \(f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}\) una función continua. Considera la función \(H : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}\) definida por

$$H(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}\, f\!\left(\frac{t^{2}+1}{t}\right) dt\,.$$

Usando el método de sustitución en la integral definida, prueba que \(H(1/x) + H(x) = 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}^{+}\). (No derivar.)

Sean \(a \in \mathbb{R}^{+}\) y \(f\) continua en \([0,a]\).

a) Usa la sustitución \(u = a - x\) para demostrar que \(\displaystyle\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}\,dx = \int_{0}^{a} \frac{f(a-u)}{f(u)+f(a-u)}\,du\).

b) Usa la parte (a) para demostrar que \(\displaystyle\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}\,dx = \frac{a}{2}\). (¡Nótese que el valor de la integral no depende de \(f\)!)

c) Usa la parte (b) para obtener el valor de \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{4}+(1-x)^{4}}\,dx\).

Sean \(g\) diferenciable en \(\mathbb{R}\), \(f\) continua en \(\mathbb{R}\) y \(\displaystyle h(x) = x^{2}\int_{g(x^{3})}^{g(x)} f(t)\,dt\).

a) Justifica que \(h\) es diferenciable y calcula su derivada.

b) Si \(f\) y \(g\) son impares, justifica si \(h\) es una función par, una función impar, o ninguna de éstas.

Derivar y simplificar (en particular, los ejercicios en azul):

$$\text{a)}\; F(x)=\int_{1}^{x^{2}} \cos^{7}\!\bigl(w^{\frac12}\bigr)\,dw \qquad \text{b)}\; F(x)=\int_{x}^{x^{2}+3} u(12-u)\,du$$ $$\text{c)}\; F(x)=\int_{x}^{1} \operatorname{sen}^{4}(z)\,dz + \int_{4}^{x} \cos^{3}(z^{2})\,dz \qquad \text{d)}\; F(x)=\int_{1}^{x^{7}} x^{4}\,dt + \int_{2x^{5}}^{1} t^{6}\,dt$$ $$\text{e)}\; F(x)=\int_{0}^{x} 5x^{3}\csc^{7}(r^{4})\,dr \qquad \text{f)}\; F(x)=\int_{\sqrt{x}}^{9} 4x^{2}\operatorname{sen}^{5}(y^{3})\,dy$$ $$\text{g)}\; F(x)=\frac{\displaystyle\int_{4x+1}^{5x-1} \sqrt{u^{5}+3}\,du}{x^{2}+18} \qquad \text{h)}\; F(x)=\frac{10}{\displaystyle\int_{4}^{5x^{2}+1} 8\tan^{4}(v^{5})\,dv}$$ $$\text{i)}\; F(x)=\int_{1}^{\int_{2}^{x} 2\cos^{5}(t^{4})\,dt} \frac{1}{1+t^{20}+\cos^{18}(t)}\,dt$$