Funciones inversas y exponencial natural

Encuentra el dominio, imagen y la función inversa de las siguientes funciones:

$$\text{a)}\; f(x) = -8x^{3}-2 \qquad \text{b)}\; g(x) = \sqrt{x+2} \qquad \text{c)}\; h(x) = \frac{3x+5}{x-4} \qquad \text{d)}\; i(x) = \ln(5-3x)$$

Sea \(f\) una función invertible, con inversa \(f^{-1}\), y sea \(g = \dfrac{1}{f^{-1}}\). Si \(f(2) = -3\) y \(f'(2) = \dfrac{2}{3}\), encuentra \(g'(-3)\).

Sea \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \(\displaystyle f(x) = 3e^{7x} + \int_{0}^{x} \sqrt{9 + 2t^{4} + t^{6}}\,dt\).

a) Justifica que \(f\) es diferenciable en su dominio.   b) Demuestra que \(f\) posee una inversa \(f^{-1}\) en \(\mathbb{R}\).   c) Encuentra \((f^{-1})'(3)\).

Sea \(0 \le a \lt b\) y \(f\) no negativa, creciente y continua en \([a,b]\) de modo que \(f^{-1}\) existe. Ver la gráfica.

a) Sean \(A_1\) y \(A_2\) respectivamente las áreas de \(R_1\) y \(R_2\). Muestra que \(A_1 + A_2 = b\,f(b) - a\,f(a)\).

b) Usa el inciso anterior para mostrar que \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = b\,f(b) - a\,f(a) - \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y)\,dy\).

Muestra que \(5e^{x} + 2e^{-x} = 3\) no tiene solución en \(\mathbb{R}\).

Encuentra \(x\), si \(\dfrac{3e^{-x} - 2e^{x}}{5} = 1\).

Analiza la diferenciabilidad de las siguientes funciones. Derivar y simplificar:

$$\text{a)}\; f(x) = \int_{1}^{e^{(x^{2})}} \ln\!\bigl(\sqrt{t}\,\bigr)\,dt \qquad \text{b)}\; f(x) = \int_{0}^{5\ln(x)} e^{2x}\,\ln\!\bigl(e^{t} + e^{-t}\bigr)\,dt,\; x \gt 0.$$

Integrar:

$$\text{a)}\;\int_{-\ln(3)}^{0} \sqrt{e^{x}}\,dx \qquad \text{b)}\;\int \frac{\tan(e^{-3x})}{e^{3x}}\,dx \qquad \text{c)}\;\int_{0}^{\ln(2)} \frac{1}{e^{x}+1}\,dx$$ $$\text{d)}\;\int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{1-e^{x}}\,dx \qquad \text{e)}\;\int \frac{e^{2t}-2}{e^{2t}+3}\,dt \qquad \text{f)}\;\int_{\ln(\pi/4)}^{\ln(\pi/3)} e^{w}\tan(e^{w})\,dw$$