Clase 12 · Exponenciales bajo la integral

Formulario · para regresar rápido

Las fórmulas de la clase, a la mano

Exponenciales, logaritmos, las tres sustituciones trigonométricas y las cuatro integrales «particulares»: lo que vas a estar consultando al resolver.

Producto con integral · TFC con límite compuesto

$$(uv)' = u\,v' + v\,u'$$ $$\frac{d}{dx}\int_0^{g(x)}\varphi(t)\,dt = \varphi\big(g(x)\big)\,g'(x)$$

Lo que no depende de $t$ sale de la integral; la integral sin fórmula se deja indicada.

Exponencial y logaritmo · lo que se deshace

$$e^{\ln A} = A,\qquad e^{-\ln A} = \tfrac{1}{A}$$ $$\sqrt{e^{x}} = e^{x/2},\qquad r\ln A = \ln A^{r}$$ $$\tfrac12\ln A = \ln\sqrt{A}$$

Logaritmo de la raíz, no raíz del logaritmo.

Sustitución en la integral definida

$$\int_a^b f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$ $$\int_{-\ln 3}^{0}\sqrt{e^{x}}\,dx = 2\int_{\ln\sqrt{1/3}}^{0}e^{u}\,du$$ $$= 2\Big(1-\tfrac{1}{\sqrt3}\Big)$$

Logaritmo solo a la potencia 1 · u = eˣ

$$\int\frac{du}{u} = \ln|u| + C$$ $$\int\frac{du}{u^{2}\pm a^{2}}\;\text{no es logaritmo directo}$$ $$u = e^{x}:\;\; e^{2x} = u^{2},\;\; e^{x}dx = du$$ $$e^{2t}dt = u\,du$$

Sustituciones trigonométricas · las tres pitagóricas

$$a^{2}-x^{2}\;\to\; x = a\operatorname{sen}\theta$$ $$x^{2}-a^{2}\;\to\; x = a\sec\theta$$ $$x^{2}+a^{2}\;\to\; x = a\tan\theta$$ $$\operatorname{sen}^{2}+\cos^{2} = 1,\quad \tan^{2}+1 = \sec^{2}$$ $$1+\cot^{2} = \csc^{2}$$

Regresar con el triángulo: para $u = \sec\theta$, hip $u$, ady $1$, op $\sqrt{u^2-1}$.

Las cuatro integrales «particulares»

$$\int\operatorname{sen}^{2}\theta = \tfrac{\theta}{2}-\tfrac{\operatorname{sen}2\theta}{4}$$ $$\int\cos^{2}\theta = \tfrac{\theta}{2}+\tfrac{\operatorname{sen}2\theta}{4}$$ $$\int\sec = \ln|\sec+\tan|$$ $$\int\csc = -\ln|\csc+\cot|$$

Las dos primeras por el ángulo doble; las otras dos multiplicando y dividiendo por el factor cuya derivada es el numerador.

El conjugado · cuándo sirve

$$\frac{1}{e^{x}+1}\cdot\frac{e^{x}-1}{e^{x}-1} = \frac{e^{x}-1}{e^{2x}-1}$$ $$\frac{1}{1-\cos x}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x} = \frac{1+\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}$$

Con un $1$ arriba, sí; con un binomio arriba, mejor separar la fracción.

Resultados de hoy

$$\int\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}dx = \ln\Big|\frac{\sqrt{e^{2x}-1}}{e^{x}+1}\Big| + C$$ $$\int_0^{\ln 2}\frac{dx}{e^{x}+1} = \ln\tfrac43$$ $$\int\frac{e^{2t}}{e^{2t}+3}dt = \tfrac12\ln(e^{2t}+3) + C$$ $$\int\frac{dx}{1-\cos x} = -\cot x - \csc x + C$$

Base a · completar el cuadrado

$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a},\qquad a^{x} = e^{x\ln a}$$ $$(a^{x})' = a^{x}\ln a,\qquad \int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a}$$ $$t^{2}-2t+2 = (t-1)^{2}+1$$ $$\int\frac{4\,dt}{t^{2}-2t+2} = 4\arctan(t-1) + C$$

Tangente · mín–máx

$$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$ $$f(x) = \int_5^{1+4^{x}}\tfrac{\log_4(t-1)}{t-1}\,dt$$ $$\text{en } x=1:\quad y = \ln 4\,(x-1)$$ $$m(b-a) \le \int_a^b f \le M(b-a)$$ $$\tfrac{3}{26} \le \int_2^{5}\frac{dx}{x^{2}+1} \le \tfrac35$$

El mapa de la sesión

Del Laboratorio 5… al repaso

🧪 El enunciado completo → Laboratorio 5 · Funciones inversas y exponencial natural, ejercicio por ejercicio 📖 Para profundizar → Thomas §7.3 · Funciones exponenciales p. 378 📖 Para profundizar → Thomas §8.3 · Sustituciones trigonométricas p. 449 📖 Para profundizar → Thomas §7.3 · Logaritmos con base a p. 384

Clase-taller con el Laboratorio 5 abierto. Cuatro capítulos:

Derivar un producto con integral (Parte 1). $f(x) = e^{2x}\int_0^{5\ln x}\ln(e^{t}+e^{-t})\,dt$: la exponencial sale de la integral y $f$ es un producto. $f' = \frac{5e^{2x}}{x}\ln\!\big(x^5+\frac{1}{x^5}\big) + 2e^{2x}\int_0^{5\ln x}\ln(e^{t}+e^{-t})\,dt$ — el segundo término lo hizo notar el salón; la integral se deja indicada. Y un paso más allá del pizarrón en el 7(a): $\sqrt{e^{x^2}} = e^{x^2/2}$, así que $f' = x^3e^{x^2}$.
Tres integrales con eˣ (Partes 2–6, 9–10). 8(a): $\sqrt{e^{x}} = e^{x/2}$, $u = x/2$, y el límite $\ln\frac13$ se vuelve $\frac12\ln\frac13 = \ln\sqrt{1/3}$ — «logaritmo de la raíz, no raíz del logaritmo»; resultado $2(1-1/\sqrt3)$. 8(c): el conjugado con un $1$ arriba, separar, $u = e^{x}$ y $\int\frac{du}{u^2-1}$, que no es logaritmo (variable al cuadrado): $u = \sec\theta$ convierte el denominador en $\tan^2\theta$, queda $\int\csc\theta$, el truco de $\csc+\cot$, y dos triángulos de regreso hasta $\ln\big|\sqrt{e^{2x}-1}/(e^{x}+1)\big|$. Para la definida: juntar las piezas antes de evaluar, $\int_0^{\ln 2}\frac{dx}{e^x+1} = \ln\frac43$. 8(e): separar; $u = e^{t}$ deja $u\,du$ arriba; $v = u^2+3$; o de una vez $u = e^{2t}+3$ — «no hay un método único».
Dos pepitas y una integral más (Partes 7, 8, 11). Entender ≠ comprender; APOE (Dubinsky), el paso de un estadio a otro (Freudenthal), el constructivismo de Piaget y el niño que quiere agarrar su sombra. Las cuatro integrales «particulares» y la razón de cada truco; las tres escuelas vienesas (Freud, Adler, Frankl). Y $\int\frac{dx}{1-\cos x} = -\cot x - \csc x + C$ por el conjugado.
Repaso (Partes 12–15). $\int\frac{4\,dt}{t^2-2t+2}$: no factoriza, se completa el cuadrado, $4\arctan(t-1)$ — y el camino largo con $u = \tan\theta$. La tangente a $f(x) = \int_5^{1+4^{x}}\frac{\log_4(t-1)}{t-1}dt$ en $x = 1$: $\log_4 = \ln/\ln 4$, $(4^{x})' = 4^{x}\ln 4$, $y_0 = 0$, $f'(1) = \ln 4$, $y = \ln 4\,(x-1)$ (y la curva es la parábola $\frac{\ln 4}{2}(x^2-1)$). Las gráficas que hay que saber. Y las cotas mín–máx de $\int_2^5\frac{dx}{x^2+1}$: $\frac{3}{26} \le \int \le \frac35$, refinadas a $[0.177, 0.4]$, con la derivada confirmando que los extremos están en los bordes.

Laboratorio interactivo · la estrella

Las cotas mín–máx se cierran, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §5.3 · Regla 6: la desigualdad máx–mín p. 267

$\int_2^5\frac{dx}{x^2+1}$. Con un solo pedazo, las cotas son $\frac{3}{26}$ y $\frac35$. Parte el intervalo en $n$ pedazos: como $f$ decrece, en cada pedazo el máximo está a la izquierda y el mínimo a la derecha. Mueve $n$ y mira cómo la pinza se cierra sobre $\arctan 5 - \arctan 2$.

n = 1 pedazos

cota inferior Σ m·Δx

—

valor exacto arctan 5 − arctan 2

—

cota superior Σ M·Δx

—

apertura de la pinza

—

La tangente con log₄, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §5.4 · TFC parte 1 con límite variable p. 276

$f(x) = \int_5^{1+4^{x}}\frac{\log_4(t-1)}{t-1}\,dt$. El navegador calcula la integral numéricamente (Simpson) para cada $x$ — y dibuja la curva que sale: una parábola. Mueve $x_0$: la tangente se traza con la pendiente de la clase, $f'(x_0) = x_0\ln 4$, y se compara con la pendiente por diferencias. En $x_0 = 1$ es la recta $y = \ln 4\,(x-1)$.

x₀ = 1.00

f(x₀) por Simpson

—

(ln 4/2)(x₀² − 1)

—

pendiente x₀ ln 4

—

pendiente numérica

—

El triángulo de u = sec θ, en vivo

📖 Para profundizar → Thomas §8.3 · Los triángulos de referencia (figura 8.2) p. 449

Mueve $\theta$: el triángulo tiene hipotenusa $u = \sec\theta$, adyacente $1$ y opuesto $\sqrt{u^2-1}$. Abajo se calculan $\csc\theta$ y $\cot\theta$ de dos maneras — con el ángulo y con el triángulo — y se comprueba que $\frac{1}{\csc\theta+\cot\theta} = \frac{\sqrt{u^2-1}}{u+1}$, el paso clave para regresar a $x$.

θ = 45°

u = sec θ

—

csc θ · cot θ (con el ángulo)

—

u/√(u²−1) · 1/√(u²−1) (con el triángulo)

—

1/(csc+cot) vs √(u²−1)/(u+1)

—

Laboratorio 5 · lo que se resolvió

Los ejercicios, uno a uno

El 7(b), tres de las seis integrales del 8, la integral extra con coseno y los tres problemas de repaso. Los enunciados se reconstruyeron del pizarrón.

📄 Primas hermanas → Cuaderno de Cálculo III (Dra. Lorena Zogaib, ITAM), Tarea 6: 2(g) ∫dx/(eˣ+1), 2(k) ∫8/(t²−2t+2), 5(d) ∫dx/(1+cos x) p. 17–18 📄 …y sus soluciones oficiales — consúltalas solo después de intentarlo p. 53 y 63

7(b) · derivar un producto con integral

$f(x) = e^{2x}\int_0^{5\ln x}\ln(e^{t}+e^{-t})\,dt$, $x \gt 0$. TFC + cadena en la integral, regla del producto:

$$f'(x) = \frac{5e^{2x}}{x}\ln\!\Big(x^{5}+\frac{1}{x^{5}}\Big) + 2e^{2x}\int_0^{5\ln x}\ln(e^{t}+e^{-t})\,dt$$

Y el 7(a) del pizarrón, con $\sqrt{e^{x^2}} = e^{x^2/2}$: $f'(x) = x^{3}e^{x^{2}}$.

8(a) · $\int_{-\ln 3}^{0}\sqrt{e^{x}}\,dx$

$e^{x/2}$, $u = x/2$, límites $\ln\frac13 \to \ln\sqrt{1/3}$, $0 \to 0$:

$$2\Big[e^{u}\Big]_{\ln\sqrt{1/3}}^{0} = 2\Big(1 - \tfrac{1}{\sqrt3}\Big) \approx 0.845$$

8(c) · $\int_0^{\ln 2}\frac{dx}{e^{x}+1}$

Conjugado, separar, $u = e^{x}$, $u = \sec\theta$, $\int\csc$, triángulo:

$$\int\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}dx = \ln\Big|\frac{\sqrt{e^{2x}-1}}{e^{x}+1}\Big| + C$$

Juntando con $\int\frac{dx}{e^{2x}-1}$ antes de evaluar: $x - \ln(e^{x}+1)$, y $\int_0^{\ln 2} = \ln\frac43$.

8(e) · $\int\frac{e^{2t}-2}{e^{2t}+3}\,dt$

Separar. Primera pieza con $u = e^{t}$ ($u\,du$ arriba) y $v = u^2+3$, o directo $u = e^{2t}+3$:

$$\int\frac{e^{2t}}{e^{2t}+3}dt = \tfrac12\ln(e^{2t}+3) + C;\qquad \text{total: } \tfrac56\ln(e^{2t}+3) - \tfrac{2t}{3} + C$$

$\int\frac{dx}{1-\cos x}$ · conjugado con trigonometría

$$\int\frac{1+\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}dx = \int\csc^{2}x\,dx + \int\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}dx = -\cot x - \csc x + C$$

Repaso · arctan, tangente, cotas

$\int\frac{4\,dt}{t^2-2t+2} = 4\arctan(t-1) + C$ (completar el cuadrado; $u = \tan\theta$ como camino largo).

Tangente a $\int_5^{1+4^{x}}\frac{\log_4(t-1)}{t-1}dt$ en $x=1$: $y = \ln 4\,(x-1)$.

$\frac{3}{26} \le \int_2^5\frac{dx}{x^2+1} \le \frac35$; refinado $0.177 \le \int \le 0.4$; exacto $0.266$.

Ponte a prueba

¿Qué tan clara quedó la clase?

1 · Con $u = x/2$, el límite $x = \ln\frac13$ se convierte en $u = \frac12\ln\frac13$, que es…

2 · $\displaystyle\int\frac{du}{u^{2}-1}$ — ¿es un logaritmo?

3 · Para $u^{2}-1$, la sustitución trigonométrica de la tabla es…

4 · $\dfrac{\sec\theta}{\tan\theta}$ en senos y cosenos es…

5 · Con $u = e^{t}$, $du = e^{t}dt$, la expresión $e^{2t}\,dt$ se vuelve…

6 · $\dfrac{d}{dx}\,4^{x}$ es…

7 · Para $\displaystyle\int_2^{5}\frac{dx}{x^{2}+1}$, las cotas mín–máx con un solo pedazo son…

Para tu cuaderno

Practica: exponenciales, conjugados, base a y cotas

1 · Calcula $\displaystyle\int_{-\ln 8}^{0}\sqrt[3]{e^{x}}\,dx$.

$\sqrt[3]{e^{x}} = e^{x/3}$; $u = x/3$, $dx = 3\,du$; límites: $x = -\ln 8 = \ln\frac18 \to u = \frac13\ln\frac18 = \ln\sqrt[3]{1/8} = \ln\frac12$, $x = 0 \to u = 0$.

$$3\Big[e^{u}\Big]_{\ln(1/2)}^{0} = 3\Big(1 - \tfrac12\Big) = \tfrac32$$

Verificado numéricamente: $1.5$. (Logaritmo de la raíz cúbica, no raíz cúbica del logaritmo.)

2 · Calcula $\displaystyle\int_0^{\ln 3}\frac{dx}{e^{x}+1}$.

Con la antiderivada de la clase (juntando las dos piezas) o con el camino corto de la Clase 6: $\int\frac{dx}{e^{x}+1} = x - \ln(e^{x}+1) + C$.

$$\Big[x - \ln(e^{x}+1)\Big]_0^{\ln 3} = (\ln 3 - \ln 4) - (0 - \ln 2) = \ln 3 - 2\ln 2 + \ln 2 = \ln\tfrac32 \approx 0.4055$$

3 · Calcula $\displaystyle\int\frac{e^{3t}+1}{e^{3t}+2}\,dt$.

Separar con el truco «$1 = \frac12(e^{3t}+2) - \frac12 e^{3t}$», o directamente: $\frac{e^{3t}+1}{e^{3t}+2} = \frac12 + \frac12\cdot\frac{e^{3t}}{e^{3t}+2}$. Luego $u = e^{3t}+2$, $du = 3e^{3t}dt$:

$$\int\frac{e^{3t}+1}{e^{3t}+2}\,dt = \frac{t}{2} + \frac16\ln\big(e^{3t}+2\big) + C$$

Verificado en sympy: la derivada del resultado es el integrando.

4 · Tangente a $y = h(x)$ en $x = 1$, con $h(x) = \displaystyle\int_2^{1+2^{x}}\frac{\log_2(t-1)}{t-1}\,dt$.

$\log_2(t-1) = \ln(t-1)/\ln 2$. Derivada por TFC + cadena: $h'(x) = \frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{\ln(2^{x})}{2^{x}}\cdot 2^{x}\ln 2 = x\ln 2$, así que $h'(1) = \ln 2$.

Aquí $y_0 \ne 0$: $h(1) = \frac{1}{\ln 2}\int_2^{3}\frac{\ln(t-1)}{t-1}dt = \frac{1}{\ln 2}\Big[\frac{\ln^2(t-1)}{2}\Big]_2^3 = \frac{\ln^2 2}{2\ln 2} = \frac{\ln 2}{2}$.

$$y - \frac{\ln 2}{2} = \ln 2\,(x - 1)\qquad(\ln 2 \approx 0.6931,\; \tfrac{\ln 2}{2} \approx 0.3466)$$

5 · Cotas mín–máx para $\displaystyle\int_1^{3}\frac{dx}{x^{2}+3}$.

$f$ decrece para $x \gt 0$: $M = f(1) = \frac14$, $m = f(3) = \frac{1}{12}$, $b - a = 2$:

$$\frac{2}{12} = \frac16 \le \int_1^{3}\frac{dx}{x^{2}+3} \le \frac24 = \frac12$$

Exacto: $\frac{1}{\sqrt3}\big[\arctan\frac{x}{\sqrt3}\big]_1^3 \approx 0.3023$, adentro. Refina con $[1,2] \cup [2,3]$: $\frac17 + \frac{1}{12} \le \int \le \frac14 + \frac17$, es decir $0.226 \le \int \le 0.393$.

En resumen

Lo que debes llevarte de la Clase 12

Una función que es exponencial por integral se deriva como producto: TFC + cadena en la integral, y lo que no tiene fórmula se deja indicado. Bajo la integral, la exponencial se domestica con $u = e^{x}$ ($e^{2x} = u^2$, $e^{2t}dt = u\,du$) y con los exponentes bien leídos ($\sqrt{e^{x}} = e^{x/2}$); en una definida los límites viajan y $\tfrac12\ln A = \ln\sqrt A$. El logaritmo aparece solo con la variable a la potencia 1 abajo; con $u^2 \pm a^2$ entran las sustituciones trigonométricas (sen, sec, tan), las tres pitagóricas y un triángulo para regresar. El conjugado sirve con un $1$ arriba; si no, separar — y no hay método único. Para el repaso: completar el cuadrado ⇒ $\arctan$; $\log_a x = \ln x/\ln a$ y $(a^{x})' = a^{x}\ln a$ ⇒ la tangente $y = \ln 4\,(x-1)$; y mín–máx: $m(b-a) \le \int \le M(b-a)$, refinable partiendo el intervalo.

¿Te perdiste algo? La Clase 12 Interactiva te lleva por las 15 partes al ritmo de la voz del profesor. La Clase 11 (el taller: desarmar antes de derivar), la Clase 10 (la exponencial y $a^{x}$), la Clase 9 (∫sec, ∫csc y el logaritmo), la Clase 8 (las funciones trigonométricas), la Clase 7 (inversas y trascendentes) y la Clase 6 (sustitución y el conjugado) siguen ahí para el repaso.

Lo que sigue

La Clase 13 se publica cuando esté lista.

Exponenciales bajo la integral